Subespacios lineales

creo que ya tenemos las herramientas espero para entender el concepto de lo que es un sub espacio vectorial de rn así que déjenme escribirlo aquí lo que voy a enseñarte en este vídeo es que es un sub espacio vectorial o sube espacio a secas de hecho se utiliza mucho el sub espacio solamente porque nosotros sabemos que estamos hablando de álgebra lineal y bueno para darte la definición de este sub espacio de rn primero déjenme tomarme un conjunto vemos un subconjunto de rn y bueno este subconjunto benz puede ser un subconjunto de muchos elementos pero cuando yo digo que es un subconjunto de rn quiere decir que cada uno de los vectores que forman este subconjunto tiene n componentes porque recuerdan que lo podemos ver de la siguiente manera podemos decir que rn es igual a todos los vectores de entradas de la forma x 1 x 2 x 3 así hasta x tienen todos estos tales quien cada una de las componentes de este efecto o sea un número real es decir que x sea un número en los reales para y entre 1 y n es decir para todas las 6 para cada una de las componentes y así podemos visualizar a efe en un conjunto infinito de vectores y fueron p es un subconjunto de rn es decir que puede ser r n pero puede ser que también sea solamente algunos vectores de rn o inclusive solamente un vector de rn pero ojo como es un sub espacio y a su vez es un subconjunto de rn lo que estoy diciendo es que estamos hablando de un conjunto que aunque puede ser rn puede ser que también sea más pequeño que rn para que no te confundas imagínate que aquí está todo rn y bueno ven ve va a ser un subconjunto de rn por lo tanto va a ser un conjunto como éste que esté adentro de rn puede ser rn pero que esté compuesto de vectores con n componentes y muy bien ya que tengo aquí a ver si yo defino que b es un sub espacio de rn y ahora sí ahí viene la definición de es un sub espacio su espacio vectorial de rn si cumple tres cosas la primera de estas cosas es que el cero el vector cero con n componentes debe de existir en b b contiene al vector 0 al vector 0 y lo voy a poner así y recuerda que es el vector donde todas sus componentes son ceros es decir 0 0 0 0 todas estas y tiene n componentes porque estamos en rn ésta es un ave un poco más larga y bueno el 0 debe de estar contenido en vez esa es la primera la segunda es esta que si x existe en b vamos a ponerlo aquí x está en bien entonces para que sea un sub espacio de rl tiene que pasar que si nosotros tomamos un número ser un número c en los reales esto es muy importante no voy a tomar cualquier número en los reales entonces la multiplicación de ese por este vector x también tiene que estar y esto significa que se ha cerrado bajo la multiplicación por escalar entonces la segunda propiedad es que si x existen ven entonces la multiplicación por un escalar de este vector también tiene que existir en b y bueno todo esto te había contado que se le conoce como la cerradura bajo la multiplicación la cerradura bajo multiplicación escalar entonces aquí está perfecto entonces mi primera propiedad es que contenga el cero mi segunda propiedad es que si x existen b entonces se por equis existen ven imagínate que este es x que existen bien entonces se x x también debe de existir aquí en vez porque si se x x no me diera a quien me me diera un [ __ ] que estuviera afuera de mi subconjunto ven entonces esto no sería un sub espacio para que sea un sub espacio la multiplicación por ser y se lo estamos definiendo en los números reales es la multiplicación por un escalar real debe de caer también en este subconjunto y bueno esto es que se cumple la propiedad de la cerradura bajo la multiplicación escalar ahora imagínate que tomo a otros dos vectores este de aquí que se va a llamar am y este de aquí que se va a llamar ven y ambos viven en ven en mí sub espacio ven entonces cyan y ven viven en ven en vez de vaca este sub espacio y que también es un subconjunto de rn si ellos dos existen en ven entonces la suma de ambos también tiene que existir en b y esto quiere decir que si nosotros tenemos dos vectores y la suma está también en b significa que tenemos la propiedad de la cerradura bajo la suma ésta es la cerradura bajo la suma de vectores esto quiere decir que si nos tomamos dos vectores cualesquiera aquí en ven entonces su suma también debe de caer en b y entonces al final puedo concluir que si pasan estas tres propiedades que acabamos de ver que por cierto estas tres propiedades son importantísimas que me contenga el cero que b sea cerrado bajo la multiplicación por escalar y que me cumpla que sea cerrado bajo la suma entonces se cumple que esto es un sub espacio y de igual manera si nosotros tenemos estas tres propiedades entonces podemos decir que el subconjunto b es un sub espacio de rn como es una definición podemos también decir esto que el tener estas tres propiedades implica que tengamos un sub espacio de rn muy bien bueno espero que quede mucho más claro a qué me refiero cuando hablo de un sub espacio pero si no vamos a ver algunos ejemplos que sean un poco más concretos acerca de la idea de que es un sub espacio y no sea tan abstracto como esto y bueno no sé si estos ejemplos tengan ser un poco más concreto el asunto pero pero al menos va a aterrizar un poco más la idea imagínate que tengo el caso más trivial tengo que ver es igual al subconjunto de vectores que solamente contiene el vector 0 es decir que b es el conjunto de vectores que tiene al 0 y vamos a pensar que estamos en r3 por lo tanto tenemos un vector 0 con 3 componentes 000 acaso este subconjunto ve que solamente contiene el 0 es un sub espacio de r3 y esta es mi pregunta que yo quiero responder si este es un conjunto b como no estoy definiendo es un sub espacio de r3 y si quiero saber si es un suv espacio de 3 tiene que cumplir tres condiciones la primera es que el 0 esté en este sub espacio y si te das cuenta el 0 está en este sub espacio porque justo así lo construimos entonces palomita muy bien mi segunda propiedad es que se ha cerrado bajo la multiplicación por escalar por una escala real entonces vamos a tomarnos a este vector 000 y vamos a multiplicarlo por cualquier constante y vamos a ver que obtenemos si lo que obtenemos está dentro debe pues ya lo hicimos vamos a ver si cumple la segunda propiedad entonces vamos a multiplicar por la constante y me dan c por 0 0 0 0 0 0 0 0 y 0 existen b por lo tanto estamos diciendo que si hablamos de la multiplicación por escalar entonces de cerrado es decir que bs bajo la multiplicación por escalar muy bien ya tengo mi segunda propiedad y ahora vamos a fijarnos en mi tercera propiedad si nosotros tomamos un vector que solamente está el vector cero en vez y lo multiplicamos por cualquier constante entonces nos da otro vector o en este caso el mismo que también está en b por lo tanto palomita y ahora vamos a probar la última propiedad que dice que si tomamos dos vectores en b vamos a ver si la suma de estos dos vectores también existen bien pero el vector cero más el vector cero me da el vector cero por lo tanto podemos decir que b también ha cerrado bajo la suma aunque aquí solamente tengamos un vector si tomamos a ese vector y lo sumamos consigo mismo vamos a obtener un vector que también está en vez y bueno tal vez este caso sea muy trivial pero al menos ya acabamos de probar que ve en el caso en el que sea solamente el vector 0 es un sub espacio de r3 muy bien ahora vamos a ver otros ejemplos un poco más difíciles y tal vez no tan intuitivo acerca de qué es un sub espacio acerca de un conjunto que no sea un sub espacio después de r3 o de r2 y para eso voy a trabajar precisamente con estos planos que ya tengo aquí dibujados así que vamos a tomarnos un subconjunto y no forzosamente por eso un sub espacio que voy a llamar ese ese va a ser mi subconjunto de los vectores en r2 de la forma x 1 x 2 x 1 x 2 y bueno recuerda que estos son elementos de r 2 porque tenemos aquí un plano cartesiano tales que tales que se cumpla la siguiente condición tal vez que x 1 sea mayor o igual que cero es decir x 1 sea positivo o 0 esta es la condición para x 1 mientras que x 2 no tiene condiciones no tiene restricciones puede tomar cualquier valor y si te das cuenta estamos hablando de vectores en este plano cartesiano que esté en el primero en el segundo cuadrante que estén arriba o abajo de esta línea porque como x1 es positivo o 0 entonces puede ser a partir de aquí y bueno x2 no tienen las elecciones por lo tanto x para arriba o abajo de esta línea verde es decir como x2 no tiene restricciones lo voy a tratar de dibujar por aquí puede valer todo esto cualquier número negativo puede valer 0 o cualquier número positivo y entonces si te das cuenta en dónde está la intersección de estas dos condiciones es el primer cuadrante recordando los cuadrantes y el cuarto cuadrante el primer y el cuarto cuadrante y bueno ahora la pregunta es acaso será ese un sub espacio de r2 es lo que nosotros queremos hablar de sus espacios entonces para probar que ese es un sub espacio lo primero que hay que hacer explicarnos en las tres propiedades la primera propiedad decía que si con teníamos al 0 0 y bueno si cuando tenemos al 0 0 porque como x 1 puede ser mayor o igual a 0 pues entonces pueden ser 0 y x2 no tiene restricción por lo tanto pues puede ser cero entonces el 0 0 está contenido en ese el caso cuando x 1 es 0 y x2 también lo es y ya tenemos la primera propiedad por tanto palomita vamos a probar otra de las propiedades y se me ocurre probar la propiedad de la suma si yo me tomo dos vectores aquí la suma estará dentro siempre de este subconjunto pues vamos a ver imagínate que yo me tomo este vector de aquí me tomo este otro vector de aquí y date cuenta que la suma perfecto sí que haya dentro de este subconjunto y si yo me tomo otro por acá y otro vector por acá date cuenta que la suma parece ser que siempre que hay dentro de este mismo subconjunto pero esta no es una demostración matemática rigurosa será cierto siempre pues vamos a ver supongamos que yo me tomo dos vectores no voy a tomar el vector avn y por otra parte me voy a tomar el vector cedem cdl y sigue lo sumo que me va a quedar estos dos bueno me va a quedar a más y más demás del estero nada más ve más de y si te das cuenta lo de abajo no importa lo que importa es lo de arriba y lo de arriba siempre es mayor o igual a cero a es mayor o igual que cero porque justo así está definido en su conjunto se es mayor o igual que cero y por lo tanto la suma de dos cosas que son mayores igual es que me da algo mayor o igual que 0 y bueno como abajo no tengo restricciones entonces mis resultados si es parte de este subconjunto entonces la suma también funciona y cuando se cumple la propiedad de la suma le habíamos puesto el nombre rimbombante de que se cumple la cerradura bajo la suma en este conjunto es cerrado bajo la suma ahora vamos a ver si se cumple también la propiedad de la multiplicación por una escalera así que déjame tomarme un vector a ver si este vector que este es nuestro subconjunto lo multiplicamos por un escalar pero como puede ser cualquier escalar me voy a tomar una escalera especial me voy a tomar al menos uno y si lo multiplicamos por menos uno me queda menos a menos b y bueno de una manera gráfica imagínate que me tomo el vector 24 aquí está el vector 24 y entonces si yo lo multiplicó por menos uno me va a quedar el vector menos 2 menos 4 es decir este vector de kim y claramente de una manera muy visual se ve que no cae este vector adentro de nuestro subconjunto que queremos y bueno es que tiene toda la lógica porque si nosotros tenemos a este vector avn entonces si a es distinto de 0 menos a va a ser un número negativo cuando yo me tomo un número positivo y lo multiplicó por menos uno o por cualquier número negativo entonces me da de resultado un número negativo en este caso b no tiene ningún problema porque b no tiene restricciones sin embargo el problema es la componente de arriba y la componente de arriba cambia de ser positiva a negativa y un número negativo no es mayor que 0 y por lo tanto no está en un subconjunto s es decir que nuestro resultado de multiplicar a un vector cuya primera componente sea un número positivo por un escalar negativo no podría obtener algo que esté ni subconjunto y si no voy a obtener algo que éste no es un conjunto puede decir que este subconjunto no es cerrado bajo la multiplicación por escalar y que cerca estuvimos cumplíamos dos de las propiedades cumplimos que con teníamos al cero y que este subconjunto era cerrado bajo la suma sin embargo no se cumplió la tercera propiedad y por lo tanto este subconjunto ese no es un sub espacio r2 bueno a superar este final trágico y vámonos a ser mejor otro ejercicio porque además yo tengo una duda muy importante imagínate que yo me tomo un conjunto de vectores y me tomo el espacio vectorial de un conjunto de vectores este espacio vectorial generado por este conjunto de vectores es un sub espacio de r2 así que imagínate que me tomo estos tres vectores y su espacio vectorial generado por ellos tres será esto un sub espacio válido de r 2 esta es mi pregunta y bueno me estoy tomando tres vectores aleatorios es decir que me podría tomar cualquier cantidad de vectores y en cualquier r n entonces fíjate bien si yo me tomo cualquier cantidad de vectores y me tomo el espacio vectorial generado por esta cantidad de vectores en este caso estos tres y a esto lo llamo un será y un sub espacio válido de rn pues vamos a probarlo lo primero que quiero ver es si está el cero aquí es decir si contiene el cero y bueno eso es muy fácil de verlo dar respuestas que sí porque si yo multiplico 0 veces de 10 veces de 20 veces de 30 veces por el vector de 10 veces por el vector de 20 veces por el vector de 3 pues esto me va a dar el vector 0 y por lo tanto el 0 está incluido en el espacio vectorial generado por esos tres vectores porque el campo se encuentra una combinación lineal de estos tres vectores que me da el vector cero por lo tanto este sí está ahora vamos a probar la cerradura bajo multiplicación por escalar entonces lo primero que voy a hacer es tomarme una combinación lineal de estos tres vectores y la voy a llamar x es decir que x va a ser igual a no sé si me ocurre ponerles constante cc1 x b1 c2 por b 2 + c3 por b 3 + c3 por b 3 es decir una combinación lineal de sus tres vectores que por cierto por definición sabemos que está en el espacio vectorial generado por estos tres vectores y bueno qué pasa si yo me tomo una constante cm y la multiplicó por x 'star hace por equis dentro de este espacio vectorial generado por estos tres vectores y bueno no espera en lugar de ponerse por equis para no confundirnos voy a poner otra constante la constante a por el vector x y bueno multiplicando del lado derecho me queda hace 1 por de uno más hace 2 por de 2 más a porsche 3 por b 3 y bueno si te das cuenta esta es una combinación lineal de los vectores b1 b2 y b3 si yo nombro aa por c 1 una constante aa por c 2 otra constante y para finalizar aa porsche 3 a otra constante entonces obtengo una combinación lineal de b1 b2 y b3 esto es lo mismo que ese 4 por b 165 por b 2 más de 6 por b 3 estas son constantes las cuales están en los números reales por lo tanto me estoy encontrando con una combinación lineal de b1 b2 y b3 y si es una combinación lineal está en el espacio vectorial generado por estos tres vectores y entonces acá puedo enseñarte que cuando yo multiplico por una escalar también está en el espacio vectorial generado por estos tres vectores es decir que existen en un y por lo tanto puedo concluir que este conjunto 1 es cerrado bajo la multiplicación por escalar muy bien ya tengo dos propiedades ahora vamos a ver qué pasa con la propiedad de la suma si yo me tomo esta x que por cierto es una combinación lineal de estos tres vectores y ahora me voy a tomar otra combinación lineal de estos tres vectores no voy a tomar una conexión lineal llamada james lleva a ser igual a no se lo voy a tomar de 1 por b 1 más de 2 por b 2 más de 3 por b 3 y bueno aquí tengo otra combinación lineal de estos tres vectores ahora qué pasa si yo sumo x + james x + james es la suma de dos vectores que están en este subconjunto y bueno x mayer date cuenta que me va a quedar de resultado hace uno más de uno por de uno lo puedo factorizar el b 10 más de uno por uno utilizando la propiedad distributiva de los vectores vamos a apuntar lo segundo más de uno por b 1 ya esto le voy a sumar dos más de 2 todo esto por b 2 ya esto le puedo sumar de 3 más de 3 todo esto multiplicado por b 3 es decir que sería factor hizo b1 b2 y b3 me estoy encontrando con una combinación lineal de b1 b2 y b3 porque date cuenta que ese 1 más de 1 es una constante de 2 más de 2 es otra constante y c3 más de 3 es otra constante por lo tanto aquí tengo otra combinación lineal de b1 b2 y b3 y eso quiere decir que la suma también cae en el espacio vectorial generado por estos tres vectores y por lo tanto estoy demostrando que este conjunto es cerrado bajo la suma y entonces se cumplen las tres propiedades ya tengo que el cero existe en un que es cerrado bajo la multiplicación y bajo la suma por lo tanto es un espacio válido de rn y eso es cierto seguramente me vas a decir oye sal si yo me tomo un espacio vectorial generado por solamente un vector supongamos no sé el 11 a poco esto es un sub espacio mal ido tr2 pues vamos a probarlo lo primero que voy a hacer es verlo de una manera gráfica si aquí tengo mi vector 11 entonces todo el espacio vectorial generado por este vector 1-1 es todas las combinaciones lineales de este vector 11 pero como solamente tenemos un vector es multiplicar a este vector por cualquier constante por lo tanto nos va a quedar cualquiera de estos vectores cualquiera de estos otros vectores y en fin si yo me tomo o me fijo en el espacio vectorial generado por este vector 1-1 esencialmente me estoy refiriendo a una línea recta a esta línea recta que estoy trazando justo muy bien y entonces mi primera pregunta es si yo quisiera saber que esta línea recta es un sub espacio de r2 lo primero que tendría que mostrar es que el cero estuviera aquí entonces vamos a multiplicar el 0 por el vector 11 y esto me dan pues 000 por 100 por 10 y entonces me estoy tomando la multiplicación de este vector 11 por el escalar 0 yo obtengo el vector 0 0 que está en r 2 por lo tanto ya cumplimos la primera propiedad ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa con la multiplicación por un escalar si yo me tomo el escalar cm y lo multiplicó por 11 pues esto esencialmente es la definición del espacio vectorial generado por mi vector 11 si te das cuenta justo así fue como construye esta línea recta multiplicando el vector 11 por todas las constantes que a mí se me ocurrieron y entonces esta constante también va a ser que cumpla mi propiedad de la multiplicación por escalar ahora imagínate que yo me tomo un vector am que por cierto lo podemos ver como se uno por el vector 11 y este vector le voy a sumar un vector vemos que también lo podemos ver como el vector 2 que multiplica el vector 11 porque tanto a como ven están en el espacio vectorial generado por el 11 bueno si yo somos todos voy a obtener el resultado el 11 que multiplica es más déjame ponerlo mejor así con un poco más de espacio c1 c2 que va a multiplicar al vector 11 y bueno al final estoy obteniendo una tercera constante c1 c2 que multiplica el vector 11 pero que también está en el espacio vectorial generado por el vector 11 porque estamos hablando de una constante si lo quisiéramos ver esto de una manera gráfica imagínate que esta es una nueva constante y entonces imagínate que yo meto un cierto vector por aquí este de aquí y después le quiero sumar este nuevo vector me voy a agarrar otro vector con otro color y le quiero sumar este vector de aquí si te das cuenta cuando sumamos estos dos vectores y juntamos cabeza con cola entonces vamos a obtener este vector de verde déjenme cambiar de color a un color más llamativo este vector que estoy obteniendo aquí es decir al final me mantengo en esta línea recta y si me mantengo en esta línea recta entonces también se cumple propiedad de la suma y por lo tanto este conjunto que es el espacio vectorial generado por el vector 11 es cerrado bajo la multiplicación por escalares cerrado bajo la suma y entonces es un sub espacio de r2 y bueno justo esto es lo que hablábamos aquí arriba que si yo me tomo el espacio vectorial generado por n vectores en rn este conjunto que forma el espacio vectorial generado por estos n vectores siempre va a ser un sub espacio de rm y bueno aquí está todo sobre sub espacios nos vemos en el siguiente vídeo