Representación paramétrica de rectas

todo lo que hemos hecho de álgebra lineal hasta este punto te puede parecer que es la forma más difícil de hacer cosas que ya sabes hacer ya has trabajado con vectores y supongo que algunos de ustedes los han visto en clases de cálculo pre cálculo o física pero en este vídeo espero mostrarles algo que nunca han hecho en álgebra lineal y que se sufre ha sido muy difícil hacer si no hubiesen visto estos vídeos comenzaría nuevamente con una manera diferente de hacer algo que ya saben hacer definiré un vector aquí y en lugar de ponerlo esta vez con negrita lo voy a dibujar con una flecha encima definido un vector y le voy a poner aquí su flecha o resaltar la negrita es lo mismo y definiremos vectores en este caso será un vector en r2 digamos que es el vector 2 1 el vector 2 1 entonces en la primera entrada tengo 2 viendo y segunda entrada tengo 1 y bueno ahora lo que quiero ver es como gráfico este vector en su posición estándar camino 2 la derecha uno hacia arriba y me quedaría este vector que tengo aquí es el 0 0 y su punto final sería el 21 hasta aquí vamos todo bien pero en esta ocasión quiero ver qué es lo que pasa con un cierto conjunto no voy a tomar un conjunto llamado ese que va a ser el conjunto de todos los vectores que me resultan de multiplicar a este vector por un número real así que voy a multiplicar a este vector b por un número real llamado cm y entonces esto se escribe así sé por el vector b y se va a existir en los números reales se es un miembro de los números reales o se existen los números reales y entonces qué va a pasar con este conjunto que yo tengo aquí con este conjunto que estoy definiendo supongamos los emmy que se vale 2 como se vería dos veces este vector a bueno antes de pintarlo en la gráfica que tengo a la derecha voy a escribirlo aquí si se vale 2 mejor déjenme escribirlo así se vale 2 entonces me queda dos veces y esto es lo mismo que 42 no me tengo que multiplicar por 2 cada una de las entradas como lo habíamos visto en los vídeos pasados y entonces me queda este vector que tengo aquí te das cuenta es con lineal a este vector que yo tengo en un inicio al vector de verde y además es dos veces el vector de verde tienen la misma dirección pero es el doble y si yo tengo 1.5 por b pues esto me quedaría 2 por 1.5 que es 3 y 1 por 1.5 que es 1.5 y me va a dar este vector que tengo aquí este aquí no es para acá este son tres sub o 1.5 y me queda este vector de amarillo que es te das cuenta tienen también la misma dirección y lo único que cambia es que es el vector de de x 1.5 veces su magnitud pero se puede ser cualquier número real puede ser por ejemplo punto 0 0 1 si fuera este pequeño número de aquí pues me saldría un pequeño vector con la misma dirección pero con una magnitud muy pequeña y si fuera negativo pues entonces iría hacia abajo empieza en el mismo punto tiene una magnitud pequeña pero va hacia abajo y esto ya te da la idea de que entonces podemos tener y multiplicando a este vector cualquier sé que se te ocurra 1.300.000 y lo que sea y como existen los números reales también nos estamos refiriendo a los números negativos por ejemplo - p - un millón etcétera y bueno si gráfica mos todos déjenme hacerlo con calma si gráfica mos todos los vectores de este conjunto estamos graficando una línea recta te das cuenta y bueno esta es una nueva forma de escribir una línea recta y bueno a este conjunto se le llama el conjunto de los vectores con lineales vectores con lineales porque todos van a ser la misma dirección esto es lo que pasa cuando yo multiplico por una constante en los números reales y más aún fíjate bien en esto si yo tengo que el vector d es el vector 21 estamos hablando del plano de re 2 yo puedo ver a este vector 21 como un punto te das cuenta como el punto 21 x igualados y igual a 1 por lo tanto a esto se le conoce como una posición como el vector posición y ahora fíjate bien si yo tomo el conjunto de todos los vectores co lineales realmente lo que estaría dibujando es toda una línea recta toda una línea recta que cumple con lo siguiente cumple que este punto este punto b estaría en el vector y además que tiene una pendiente de un medio porque recordemos 2 en x por cada uno de ella y entonces me queda 1 aquí 2 acá y entonces lo que quiero decirte es que este conjunto te va a dibujar una línea recta y por lo tanto es otra definición nueva de línea recta para la definición antigua que nosotros veíamos con una pendiente de una ordenada al origen en esta ocasión estamos hablando de cómo sabemos o cómo podemos obtener una línea recta dado un vector y es con este conjunto de vectores con lineales porque la representación de todos estos vectores es decir de una constante multiplicada por un vector original es una línea recta que además date cuenta que pasa por el origen y fíjate la importancia de tener a los vectores en su posición estándar porque yo podía tomar un vector que no estuviera su posición estándar por ejemplo este y a partir de aquí definir todo lo que era el conjunto de los vectores co lineales y me ha salido otra línea recta sin embargo la importancia de tomar el vector en posición estándar es que estamos tomando una línea recta este es un vector posición este es un conjunto de vectores kong lineales y entonces nos damos cuenta que dibujan a una línea recta y que por lo tanto esta es una nueva definición de lo que es una recta y bueno fíjate también que este vector de lo que me marcaba era la pendiente por lo tanto vamos a escribirlo este vector de aquí lo que me marca es la pendiente de esta recta que estoy dibujando ahora bien qué pasa si queremos una recta que no esté en el origen es decir supongamos que lo que queremos es una recta que está en otro punto que no sea el cero cero así que vamos a tomar un punto cualquiera y voy a tomar este de aquí que parece ser que es el 2,4 cómo puedo yo dibujar una recta paralela o cómo puedo escribir yo una recta paralela que pase por el punto 24 ojo lo que quiero es una recta paralela a esta recta que está dibujada por mi conjunto es y bueno lo primero que voy a hacer es tomarme un vector el vector que esté en posición estándar y que tenga como punto final el punto 2,4 y bueno pues eso es muy fácil es el vector 24 al cual le voy a llamar x x vector va a ser igual al 24 entonces lo que voy a buscar es toda una recta que sea paralela a nutrexpa que me salió en el conjunto s es decir a mi recta que me sale de multiplicar una constante por el vector de lo que voy a querer hacer es dibujar una recta paralela a esta recta pero que pase por el punto 2 como a 4 así que esta recta crece para ambos lados y lo que quiero es que estas dos rectas sean paralelas ahora bien como escribo la ecuación o como escribo un conjunto que me diga esta línea azul que estoy dibujando aquí es decir lo que quiero encontrar es un conjunto de vectores que a graficar los me dé en esta línea azul que tengo aquí bueno pues fíjate bien qué pasa si yo agarro un vector cualquiera de este vector que tengo en mi conjunto con lineal de vectores ya ese vector le sumo mi nuevo vector x pues entonces voy a obtener un punto de esta línea azul si te das cuenta ahora si yo agarro otro vector de este conjunto de vectores con lineales voy a suponer que voy a agarrar este de aquí cuál es este vector que tengo aquí y si te das cuenta estamos el punto menos 24 es decir es menos dos veces el vector original si te das cuenta menos dos veces el vector original me da el vector menos 42 y ya que tengo este vector de aquí ahora le voy a sumar el vector x que es el vector 24 y bueno tomé una constante arbitraria que en este caso fue menos 2 y ahora le voy a sumar el vector x es decir que al menos dos veces este vector si yo le sumó el vector x a donde voy a dar fíjate bien tengo que caminar 12 hacia la derecha y 4 hacia arriba 2 la derecha 4 hacia arriba y qué creés doy a otro punto de esta línea azul que tengo aquí que era mi línea paralela por lo tanto se me ocurre que ya puedo definir cómo se puede representar esta línea azul que es paralela original en un conjunto porque si te das cuenta cualquier vector que yo tome en este conjunto ese y después le sume x me va a dar un punto de esta línea paralela y si tengo una infinidad de puntos porque tengo una infinidad de vectores en este conjunto ese por lo tanto voy a obtener toda la línea azul a ver vamos a escribirlo él le va a ser mi conjunto de los vectores que al vector x le voy a sumar una constante pero en esta ocasión a la constante le voy a poner t porque se llaman ecuaciones paramétricas y las ecuaciones paramétricas casi siempre esta constante se le pone t por lo tanto le voy a sumar t veces me vector b tevez es mi vector b y si te das cuenta el segundo sumando es lo mismo que mi conjunto ese y solamente hay que definir qué te existen los números reales o en su dado caso este es un miembro de los números reales y entonces voy a correr arte por todos los números reales este conjunto de aquí lo que me va a dar son todos los puntos que yo tengo en mi línea azul que yo quería dibujar y ya te la podemos variar puede valer menos 2 menos 100 menos 50 23 me llevan a lo que sea y todos estos vectores tarde o temprano me van a dar puntos de esta línea azul que tengo aquí arriba y si te das cuenta ya con esto podremos escribir cualquier recta paralela a esta recta original que yo tenía en un principio si yo tomo un vector en mi conjunto de vectores con lineales ya ese le sumó el vector en coordenadas cartesianas me dé el punto por donde quiera pasar mi recta paralela entonces ya tengo y recta paralela definida por esta ecuación y bueno seguramente tú me vas a decir oye presto es una definición poco obtusa yo en mis clases de preparatoria aprendí una forma mucho más fácil de ver una recta las rectas todas las revistas las veíamos de la forma ordenada al origen es decir que es igual a mx más bien esto lo veías en tus clases de geometría analítica y recuerda que la pendiente por ejemplo la definidas como el cambio en x / el cambio y además necesitabas un punto y es igual a mx más ven y me vas a preguntar bueno si ya tengo esta definición donde aquí tengo la pendiente ya y también tengo en donde corta el eje de las 'íes' entonces porque tengo que aprenderme ahora esta otra definición además esta definición es mucho más obtusa y la respuesta es que esta definición es mucho más general que la definición que viste en prepa déjame ponerlo aquí esto es mucho más general que todo lo que viste en prepa porque si te das cuenta esto funciona bastante bien en r2 cualquier recta cuando cartesiano la podemos ver de la forma es igual a mx más ven pero si yo quiero irme a un espacio en r3 en cualquier dimensión ya no va a ser tan difícil que yo encuentro una recta viéndola desde la forma es igual y por lo tanto si yo utilizo esta nueva definición de este conjunto que te acabo de dar la suma de un vector más una constante por otro vector éste te va a dar cualquier recta en cualquier dimensión y es a eso a lo que me refiero con que sea mucho más general cualquier recta en cualquier dimensión se puede ver de esta forma en este conjunto así que vamos ser el último ejemplo que me queda en r2 vamos a tomar los dos vectores en esta ocasión me voy a tomar un vector a un vector bent así que vamos a definir los vamos a bautizarlos aquí abajo voy a decir que el vector a base del vector y vamos a tomar el vector 2-1 a base del vector cuyas componentes son el 21 y bueno vamos a dibujarlo primero en su posición estándar 2 a la derecha 1 hacia arriba y este director a perfecto ahora me voy a tomar otro vector director bent y mi vector b lo voy a definir o lo voy utilizar como aquel que tiene como componentes el 0 y el 3 el vector b va a ser el 0 3 y entonces ya que tengo este vector b también lo voy a graficar aquí en este plano cartesiano y dice no camino nada a la derecha subo tres unidades y obtengo este vector de que tengo aquí ahora este va a ser mi vector ven y me pregunta en esta ocasión va a ser la siguiente ya que tengo el vector am y ya que tengo el vector de me recuerda que estamos hablando en un plano cartesiano en r2 como puedo yo encontrar a la recta que pasa por el punto final de b y por el punto final de am es decir voy a juntar estos dos puntos que tengo aquí tanto a éste como a este y voy a hacer pasar una línea recta por estos dos puntos y mi pregunta es como encuentro yo la recta que pasa por estos dos puntos o mejor aún como encontramos el conjunto que me defina a todos los puntos de esta recta de verde que tengo aquí así que déjame dibujar un poquito mejor a más o menos queda sin y bueno ahora vamos a utilizar todo el conocimiento que hemos creado en este vídeo cómo puedo encontrar yo un vector eso estaría genial encontrar un vector que esté en esta recta porque si encuentra un vector que esté en esta recta y lo multiplicó por alguna constante y esta constante la varió en todos los números reales entonces me va a dar esta recta que yo tengo aquí y bueno la pregunta es cómo encuentro y un vector sobre esta recta y la respuesta es fijémonos en la diferencia de b con am si nosotros nos fijamos en la diferencia de b konaté acuerdas que se alían pues sería justo este vector que estoy dibujando aquí este de aquí es venenosa o dicho de otra manera nos preguntábamos por el vector tal que la agregarle a nos daba el vector b es decir b menos a y bueno ya que tengo es el vector aquí de menos amp entonces si yo lo multiplicó por cualquier constante me va a dar la gráfica de esta línea verde que yo tengo aquí porque voy a pasar por todos estos puntos estirando y encogiendo a este vector y además girándolo para el otro lado por lo tanto voy a escribirlo aquí cualquier constante te recuerda que estamos hablando de una forma para cuando hablamos de formas paramétricas ponemos a la constante ua la variable tema y es que cuando oigas ecuaciones paramétricas te aconsejo que siempre pongas a la variable t que multiplica al vector b - ar pero cuidado hay que tener mucho cuidado porque el vector menos ha visto desde su posición estándar me quedaría este vector que estoy dibujando aquí porque recuerdan que si yo no le pongo nada a este vector b entonces me lo va a dibujar en su posición estándar n va a salir una recta paralela a la recta que yo quiero pero qué pasa por el origen y al final no es la recta que yo quiero recuerda que cuando vemos a un vector en su forma o en su posición estándar estamos refiriéndonos a un vector cuyo punto inicial es el origen y bueno entonces me pregunta es cómo puedo escribir la ecuación de esta línea verde que era mi problema original ya encontré una parametrización de la ecuación paralela que pasa por el origen ahora lo que me quiero preguntar es como encuentro la línea verde que no va a pasar por el origen pero esto es muy sencillo vamos a usar lo segundo que vimos el día de hoy si a esta línea amarilla yo le sumó el vector b en este caso después de variar t por todo números reales me va a dar ya por fin el conjunto de puntos que su gráfica me van a dar la línea de verde es decir que esto dado te en los números reales es una parametrización por fin de esta línea de verde el vector de más tevez es el vector de menos a pero lo bueno es que no solamente le puedo tomar el vector b a esta línea de verde porque si te das cuenta el vector a también pasa por esta línea por lo tanto podemos tomar otro conjunto el cual sea el vector am y al vector a le vamos a agregar lo mismo tevez es el vector de menos a y me va a dibujar la misma recta de verde que yo tengo aquí a la derecha porque porque tanto el vector de como el vector a cuando yo le sumo a esta recta paralela me van a dar a la recta de verde y me van a dar todos los puntos de la recta de verde por lo tanto aquí ya tengo dos definiciones esta es mi primera representación y esta otra es mi segunda representación sea que le sume el vector a o sea que le sumó el vector bien pero bueno está en una forma muy general y muy abstracta seguramente tú vas a decir es que no entiendo nada así que vamos a ponerle los valores de ahí debe para que te quede mucho más claro al final voy a tomar la definición que está aquí arriba pero es lo mismo tomarme la definición de arriba o de abajo es decir sumarle el vector de al principio sumar del vector al principio es justo lo mismo porque tenemos dos definiciones análogas y por lo tanto voy a definirlo con el conjunto de arriba a ver la línea va a estar definida por el vector de voy a tomarme el primero la definición de arriba y el vector de era el vector 03 ya esto le voy a sumar tevez es el vector b - pero quién es el vector b menos anp parémonos en b y restamos a cero menos dos me queda menos dos y tres menos uno me queda dos positivos ahora sí ya que le pusimos números la línea de verde está representada por este conjunto que es el conjunto del vector 0 3 más de veces el vector menos 2 2 y t existen los reales y bueno si te das cuenta esta definición va a depender del parámetro t pero en nuestro plano cartesiano está en equis y entonces como por un contrario una representación paramétrica de esta línea que yo tengo aquí si te das cuenta nuestra primera coordenada nuestra primera componente siempre le hemos llamado que es la componente x porque representa un valor en x mientras que la segunda componente representa un valor en sí es la componente bien ahora bien si yo quisiera encontrar una forma de representar esta misma línea recta pero en dos componentes una componente que dependa solamente de xy dt y otra componente que dependa solamente de jay y de tm es decir una representación paramétrica esta sería otra forma de escribir a esta misma línea recta pero tal vez una forma mucho más clásica y más metida en ecuaciones esta es la coordenada x ésta es la coordenada que la coordenada james y como podríamos escribir una ecuación paramétrica o un conjunto de ecuaciones paramétricas que me definan esta línea verde que yo tengo aquí pues bueno si ésta es la coordenada en x y está la coordenada en x entonces basta pensar que esto es decir justo esto que voy a atrapar ahorita va a ser lo que está en x entonces me quedaría que x es igual a 0 a veces recuerda que este es un parámetro más el parámetro t x menos 2 es decir menos 2 temps y que se va a ver de la siguiente forma que es igual a tres más dos veces el parámetro t hay que multiplicar dos por el parámetro t que está aquí afuera de este vector y aquí encuentra una cuestión paramétrica déjenme limpiar estas ecuaciones x es igual a menos 2 temps y es igual a 3 más 2 t2 t3 y ya con esto tengo una representación paramétrica si tú has visto los vídeos de ecuaciones paramétricas te vas a dar cuenta que estas dos ecuaciones paramétricas me grafican esta línea de verde que era mi problema original y bueno yo sé que el vídeo se está poniendo un poco largo y tal vez estás un poco cansado pero para mí es de suma importancia que veas un ejemplo con algo que no tenga que ver con nada que hayas visto en tus clases de preparatoria en este caso voy a tratar con vectores pero no en un plano cartesiano no en r2 en esta vez voy a tomar vectores en r3 es decir me voy a tomar de vectores con tres dimensiones así que vamos a tomarme el primer vector el cual voy a llamar p 1 y va a ser vector a menos 12 y 7 este es mi primer vector y me voy a tomar otro vector llamado p subíndice 2 y este vector p subíndice 2 va a ser mi vector 0 3 y 4 0 3 y 4 bueno ahora lo que quiero preguntar es cómo encuentro la línea recta o el conjunto de los puntos de la línea recta que pasa por estos dos puntos en r3 es decir en el espacio aquí ya no estoy utilizando las coordenadas en r2 y por lo tanto como lo haríamos bueno utilizando lo mismo que vimos hace rato la línea es un conjunto que está definido por cualquiera de esos dos puntos no voy a tomar mejor el punto inicial el punto uno más tves es recuerda que estamos hablando de ecuaciones paramétricas y que estos dos son vectores se me olvidó ponerle la línea en china más tres veces porque estamos hablando de ecuaciones paramétricas y te puede serte de tiempo o cualquier parámetro lo vamos a tomar como una variable en los números reales y te va a multiplicar a la diferencia entre 1 y ps2 al final podremos tomarnos cualquier diferencia de peso 1 2 o en su dado caso peso el índice 2 - p subíndice 1 pues al multiplicar los x te van a generar toda la recta y además recuerda que tenemos que escribir que te está definido en los números reales entonces tal que te existen los números reales y bueno pues ahora lo que se me ocurre es ponerles números a esta ecuación por lo tanto vamos a ver quiénes p1 y qué es la diferencia entre p1 y p2 primero vamos a calcular la diferencia entre peso 20 c 1 y p subíndice 2 y esto me va a quedar menos 10 me da menos 12 menos 3 me da menos 1 y 7 menos 4 edad 3 esto es p 1 - p 2 y lo que te decía es muy importante también podíamos tomar la diferencia entre peso índice 2 y peso 15 1 pero como te lo vamos a recorrer con todos los números reales pues también va a tomar los valores negativos ya brasil como voy a definir la línea que va a pasar por los puntos cuyas coordenadas equivalen a las componentes de p1 y p2 bueno tomemos primero p subíndice 1 y es el menos 12 y 7 ya esto hay que sumarle tevez es la diferencia entre peso fuente 1 y peso pero ya lo calculamos esto era menos 1 1 y 3 y recuerda tal que te existen los números reales esto es importante la anotación de conjuntos que existe en todos los números reales y bueno no sé qué tan difícil sea poder graficar esto vamos a intentar graficar esto y para esto lo que necesito es bajar un poco la pantalla y voy a intentar hacer un espacio entonces déjenme bajar un poco la pantalla así que como estamos en tres dimensiones necesitamos tres ejes no solamente dos este de aquí va a ser mi eje de las setas este de aquí es mi eje de las equis y como estamos en el espacio me falta el eje de las 10 así que voy a dibujarlo este de aquí va a ser mi eje de las 10 perfecto ya tengo mis tres ejes ya estoy hablando 9 espacio y cómo podría yo graficar esta línea recta que tengo aquí bueno lo primero que se me ocurre hacer es escribir estas ecuaciones en forma paramétrica es decir buscar las ecuaciones para x para ella y para zeta vistos conforme el parámetro tema entonces x sería igual a menos 1 este primer valor me va a quedar x es igual a menos 1 más tevez es más té con amarillo más té veces menos uno o dicho de otra manera menos 1 t bueno esta es mi primera ecuación paramétrica y esta es mi ecuación paramétrica para x ahora vamos a fijarnos en yemen que va a ser igual a esta ecuación parametría que estoy dibujando aquí y es igual a 2 + menos 1 por t esto me queda menos 1 t y como tenemos 3 componentes en esta ocasión y además tenemos tres ejes ordenados pues ahora también vamos a tener una ecuación paramétrica para z 7 es igual a 7 más 3 veces este transporte es 3 t 773 veces temps y ya tengo mis 3 ecuaciones paramétricas en esta ocasión las cuales me dibujan una línea recta pero ten cuidado porque aquí está lo distinto de lo que habías visto en sus clases de geometría analítica porque en el plano cartesiano si tomamos una ecuación de la forma x más igual a una constante me dibuja una línea recta pero en esta ocasión si yo tomo algo de la forma x más jay-z igual una constante no es una línea recta no está tan fácil dibujar a una línea recta así que déjenme escribirlo x massieu más 7 igual acá esto no es una recta en r3 esto de aquí me va a dibujar un plano y más aún la única forma en la que yo pueda dibujar una línea recta en r3 es con tres ecuaciones paramétricas como las que tenemos aquí así que si por ejemplo quiero describir el camino del vuelo no sé de una mosca en r3 en línea recta tiene que ser con ecuaciones paramétricas y entonces aquí te presento por fin a las ecuaciones paramétricas que van a describir a una línea recta en r3 y solamente de esta manera puedes escribir una línea recta en r3 y bueno espero que este vídeo te sea bastante útil porque acabamos de ver cosas que nunca habías visto en tu vida además estamos viendo cómo definir una línea recta cualquier línea recta conforman vectores y recuerda que lo importante de esto es que los vectores te hablan de una forma general es decir que si nosotros queremos tomar una línea recta en 50 dimensiones lo podemos hacer utilizando vectores