Reglas básicas de las derivadas: tabla

nos han dado información muy interesante sobre las funciones f g y h nos dicen por ejemplo para la función f algunos de sus valores por ejemplo nos dicen que x cuando vale 0 la función vale 2 cuando x vale 1 vale 1 cuando x vale 4 la función vale menos 2 y así sucesivamente también nos dieron información sobre su derivada por ejemplo que cuando x vale 0 la derivada vale menos 3 o que cuando x vale 16 la derivada vale 4 muy bien entonces esta es la información que nos proporcionan respecto a la función f por otro lado nos definen a la función g de x como el valor absoluto de x menos 1 más 1 muy bien y finalmente tenemos una función h h de x está definida como 3 por fx + 2 por gm x entonces la pregunta es la siguiente cómo podemos nosotros calcular la derivada con respecto de x la función hdx en el punto x igual a 9 muy bien entonces como siempre te invito a que hagas una pausa al vídeo y pienses cómo resolver este problema antes de que nosotros lo hagamos y entonces nada más para para ir aclarando cuál es la notación esto es exactamente lo mismo que la h prima evaluada en el punto 9 verdad esta es la notación utilizando está digamos este apóstrofe o esta comilla ok entonces utilizando esta anotación puedes utilizar cualquiera de las dos más bien solo que aquí hay que evaluar en x igual a 9 entonces vamos a ver vamos a ver cómo resolver este problema vamos a tener que utilizar todas las propiedades que conocemos de la derivada entonces tenemos que la derivada con respecto de x de nuestra función hdx es exactamente igual que la derivada con respecto de x y en vez de poner h pues ponemos esta expresión de hd 3 f x 2 g x muy bien entonces tenemos que calcular la derivada de esta suma pero lo que sí sabemos es que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas esto es la derivada con respecto de x primero de tres de tres fd x muy bien esta es la primera derivada más la derivada con respecto de x de 2 g de x 2 muy bien esta fue la primera de las propiedades que tenemos que utilizar la derivada de una suma es la suma de las derivadas ahora bien en cada una de ellas tenemos la derivada de un factor por la función verdad la derivada de un número por la función entonces lo que también sabemos es que esto es exactamente igual tres veces la derivada con respecto de x de nuestra función efe de fx fx más dos veces dos veces la derivada con respecto de x de gd x esta es la segunda propiedad que conocemos verdad que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función muy bien entonces esto es exactamente en la derivada de kit de dh perdón entonces si nosotros queremos conocer la derivada en 9 en el punto 9 esto no es otra cosa más que o menos si quien antes lo podemos hacer en general si nosotros queremos calcular la derivada de h en cualquier punto esto es lo mismo que fíjense muy bien tres veces la derivada de f que es f prima en cualquier punto x más dos veces la derivada de g en ese punto x ahora bien a nosotros nos interesa calcular la derivada de h en el punto 9 así que aquí en vez de poner x podemos poner 9 aquí en lugar de x podemos poner 9 y aquí también ahora vamos a utilizar toda esta información que nos dan para obtener quién es esto quién es la derivada de h en el punto 9 entonces si nos damos cuenta así podemos calcular la derivada de f en el punto 9 por ejemplo aquí tenemos en x igual a 9 tenemos cuánto vale la función vale 1 pero eso realmente no es importante lo que nos interesa es esto cuánto vale su derivada en el punto 9 así que la derivada de f en 9 vale 3 ahora bien cómo podemos calcular la derivada de g en el punto 9 y para eso voy a hacer una gráfica ahí tienen un lg y voy a poner por aquí el eje x y ahí tienen ustedes el eje x quizás debería ser lo más grande voy a hacerlo un poco más grande ahí está ahí está el eje x muy bien digamos que por aquí lo que vamos a tratar primero de hacer es como como hemos hecho incluso en algunos vídeos de valor absoluto es encontrar el mínimo de esta función porque porque esta función se ve muy fácil es el valor absoluto de digamos de una función lineal más constantes hemos visto que el mínimo o el máximo de este tipo de funciones se encuentran muy muy fácil y eso por ejemplo es minimizando esto verdad este valor absoluto siempre va a ser mayor o igual que 0 es decir es no negativo ahora bien la pregunta es cuando esto vale 0 que es en donde alcanza su mínimo esto vale 0 justo cuando esto de aquí adentro es 0 es decir cuando x es igual a 1 entonces si x es igual a 1 digamos por aquí vamos a tener el mínimo si x es igual a 1 esto se hace cero y la función g vale 1 entonces vamos a tener este punto es el mínimo y sabemos que son como como una especie de flechas o de picos muy bien ahora para entender muy bien esta gráfica vamos a escribir ag en dos pedazos vamos a tener dos pedazos la primera de ellas es cuando x es mayor o igual que 1 verdad porque si x es mayor o igual que 1 este valor absoluto es no negativo es no negativo es decir bueno siempre es no negativo sin embargo como x menos 1 es mayor o igual que 0 se queda igual y me queda x menos uno más uno pero estos dos se cancelan y simplemente me queda como x muy bien entonces la función vale x si estamos por arriba del 1 el otro caso es que estemos por abajo de 1 es decir en este caso x menos 1 es negativo y por lo tanto su valor absoluto es uno menos equis y hay que sumarle uno o bien podemos nosotros simplificar esto como 2 - hechos y entonces esto es 2 - x entonces finalmente como se ve la gráfica de esta función pues si estamos a la derecha del 1 esto se ve como una recta identidad como la recta identidad y si estamos a la izquierda del 1 se ve como menos la identidad desplazada por 2 más o menos así estés digamos la gráfica de la gráfica gtx muy bien entonces realmente sólo nos interesa conocer la pendiente verdad y sólo nos interesa en el punto 9 entonces por ejemplo digamos que aquí está el punto 9 lo importante es que está a la derecha del 1 y entonces le corresponde esta asignación es decir aquí la pendiente es la derivada de x que es uno muy bien entonces esto de aquí esto de aquí vale uno y finalmente ya podemos calcular quién es nuestra derivada porque esto será 3 por 3 son 9 esto de aquí vale 9 más 2 por la derivada de g 9 es 2 y que finalmente esto vale 11 muy bien así que la pendiente de la recta tangente a nuestra función hdx en el punto 9 o lo que es lo mismo la derivada en ese punto es 11