La simetría de las segundas derivadas parciales

en el último vídeo hablamos de lo que son las derivadas parciales de funciones multi variables verdad es decir que tuvieran varias entradas y aquí quiero hablar de lo que son las segundas derivadas parciales así que vamos a escribir alguna función multi variable digamos pensemos en esta función fx que esto sea el seno de x por ye cuadrada muy bien esta será nuestra función multi variable y como vimos en el vídeo anterior podríamos calcular dos distintas derivadas parciales verdad podríamos calcular la derivada con respecto la derivada de nuestra función con respecto a la variable x o también podríamos calcular la derivada de esta función con respecto a nuestra variable y en verdad tenemos estas dos opciones si nosotros queremos calcular la derivada parcial de f con respecto de x entonces lo que vamos a hacer es tener que considerar solo la variable x a la variable ye la vamos a considerar como una constante entonces si derivamos esta expresión con respecto de x bueno tendremos que calcular la derivada del seno de x que es coseno de x por ye cuadrada que en esencia es una constante para fines de derivar con respecto de x ahora sí que si calculamos la derivada parcial de f con respecto de y en este caso ya será nuestra variable y x sería constante de esta forma el seno de x completitos sería una constante que multiplica a ye cuadrada entonces al derivar con respecto de y como esto es constante se quede igual verdad tendremos seno de x que multiplica a la derivada de ch cuadrada que es 2 de verdad entonces la derivada es 2 y estas son las primeras derivadas parciales verdad quisiera antes hablar un poquito de otra anotación que existe para denotar a las derivadas parciales y es una anotación que es bastante cómoda pero quizás es poco intuitiva y podemos escribir efe con un sub índice y para denotar a la derivada de f con respecto de y lo mismo podríamos hacer para esta derivada verdad pondríamos efe con un subíndice xy esto denota la derivada parcial de f con respecto de x entonces observemos que las derivadas parciales son también funciones multivariable es verdad entonces tiene sentido hablar de las derivadas parciales de estas derivadas parciales que ya hemos obtenido verdad entonces por ejemplo para esta función nuevamente tenemos dos opciones para calcular derivadas parciales verdad podríamos tener la derivada parcial con respecto de x de esta función o la derivada parcial con respecto de y entonces aquí tendríamos por ejemplo la derivada parcial con respecto de x de esta función que ya era la derivada parcial de f con respecto x entonces si nosotros derivamos con respecto de x a esta expresión aquí está nuestra variable verdad que sería cosa de x esto sería una constante y entonces al derivar coseno de x nos queda menos seno de x multiplicando nuestra constante que es ye cuadrada verdad entonces lo mismo podríamos hacer ahora para derivar con respecto de y nosotros podríamos derivar ahora con respecto de y esta expresión que ya era la derivada parcial de f con respecto a x entonces si nosotros calculamos esta derivada ahora nuestra variable sería aquí está esta parte que es de cuadrada y coseno de x simplemente es una constante verdad entonces aquí tendríamos coseno de x por la derivada de ye cuadrada que es y esta sería nuestra expresión para la segunda derivada verdad que sería derivar con respecto de iu a la parcial de f con respecto de xy como en el cálculo tradicional podríamos hacer una especie de abuso de notación verdad nosotros podríamos reescribir esto de aquí como la segunda derivada verdad como podríamos pensar como la segunda derivada tradicional pero aquí vamos a hablar de parciales verdad entonces podríamos poner una segunda derivada de f y aquí vamos a poner que derivamos con respecto de x ambas veces verdad que en realidad podríamos pensar que es con respecto a x cuadrado aunque aunque esto es un abuso de notación en realidad es la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces muy bien y la verdad es que la primera vez que aprendí de estas cosas a mí me revolvía mucho digamos que con la anotación de lightning es verdad tenemos la intuición de cómo cambia efe al variar nuestra variable verdad x por ejemplo pero podemos perder esta intuición al útil esta nueva anotación al menos al menos podemos entenderlo digamos como si fuera un operador de verdad parecía al respecto de equis y lo estamos usando dos veces y de este lado por ejemplo ahora de este lado tendremos algo algo chistoso vamos a tener la parcial la segunda parcial de efe y ahora hay que decir bien cuál es el orden en el que lo hacemos primero lo hacemos con respecto de equis y luego derivamos con respecto de qué bien entonces así es como se escribe en este orden ahora bien podríamos hacer lo mismo con esta otra función verdad podríamos tener aquí una derivada parcial con respecto de x podríamos tomar la derivada parcial con respecto de x y que es lo que obtendríamos entonces como siempre podríamos considerar esta parte que es 2 como una constante y simplemente derivamos esto la de entonces la derivada del seno de x sería coseno de x por nuestra constante que es 2 muy bien y algo genial que podríamos remarcar desde este momento que al menos a mí siempre me ha parecido increíble me ha parecido muy sorprendente es que estos dos resultados resultan ser iguales verdad e incluso cuando hemos tomado caminos distintos para llegar a estas derivadas parciales verdad en realidad nosotros podríamos pensarlo de esta forma que la segunda derivada de f verdad la parcial la segunda parcial de f con respecto de x y luego con respecto de ye que es lo que teníamos de este lado es este resultado es exactamente igual a la segunda derivada de f primero con respecto de iu y luego con respecto de x que es exactamente lo que hemos calculado aquí verdad primero con respecto de iu y luego con respecto de x y lo que resulta ser sorprendente es que en realidad esto es válido para una gran cantidad de funciones de hecho este resultado es conocido como el teorema de swartz que si las segundas derivadas parciales son continuas en el punto de interés entonces estas derivadas cruzadas son iguales y para fines prácticos las funciones con las que uno se topa siempre son de este tipo y entonces el orden de las derivadas en realidad no importa verdad quizás algo que hay que mencionar es otra anotación alternativa con la que podemos trabajar por ejemplo en esta segunda derivada de f con respecto de x ambas veces podríamos escribirlo mucho más simples poniendo efe x x verdad este subíndice que nos dice xx nos dice que derivamos respecto de x y luego respecto de x si nosotros queremos pensar por ejemplo en esta derivada parcial tendríamos que escribir efe primero x y luego ye y es que en realidad aquí hay que invertir el orden porque aquí lo estamos leyendo de izquierda a derecha mientras que aquí lo pensamos de derecha a izquierda verdad aquí es porque así se lee y aquí es porque lo estamos pensando como una especie de multiplicar verdad entonces está por ejemplo de aquí sería la derivada primero con respecto de ye y luego con respecto de x entonces dicho esto creo que es un muy buen momento para detener este vídeo nos vemos en la próxima ocasión