Ejemplo del criterio de la segunda derivada parcial (parte 1)

un tipo de problema muy común que se ve en muchos cursos de cálculo multivariable dice algo como lo siguiente dice encuentra y clasifica todos los puntos críticos de alguna función que nos darán eventualmente en este caso tenemos la función que depende de dos variables xy y que es 3x cuadrada porque menos de kubica menos 3x cuadrada menos 3 g cuadrada muy bien y antes que nada lo que quizás valdría la pena mencionar es que significa el término punto crítico verdad el punto crítico básicamente es un punto verdad del espacio de entradas en donde el gradiente se anula verdad entonces lo que tendríamos es un punto verdad donde el gradiente de nuestra función digamos un punto equis y un punto en donde el gradiente se anula y por supuesto cuando pensamos en que se anula es decir que sea el cero estamos pensándolo como vector verdad y esto básicamente lo podríamos necesitar para cuando quisiéramos clasificar puntos como máximos mínimos o puntos y la verdad ahora bien tenemos otro punto en nuestro problema y dice clasifica estos puntos críticos y en en realidad lo que significa clasificar es determinar justamente si estos puntos críticos son máximos mínimos o puntos y allá muy bien entonces vamos a tratar de hallar primero los puntos críticos y para eso pues básicamente tenemos que buscar cuando el gradiente se anula es decir cuando ambas derivadas parciales se hacen cero verdad entonces calculamos primero la derivada parcial de f con respecto de x muy bien entonces derivamos estos términos con respecto de x entonces aquí ya es como una constante y entonces al derivar esta parte tendremos 6x por qué verdad menos verdad a no aquí tendríamos una constante entonces en realidad al derivar lo nos da cero y luego tenemos menos 3x cuadrada al derivar lo nos da menos 6 esto solo depende de ella así que es una constante y esta es nuestra derivada parcial con respecto de x vamos a calcular ahora la derivada parcial de nuestra función f con respecto de y muy bien la derivada parcial con respecto de ahora este término es una constante verdad 3x cuadrada tendríamos la derivada de esto es 3x cuadrada verdad porque la derivada de jenson y ahora derivamos menos cúbica entonces esto es menos 3 g cuadrada este término sólo depende de x así que se anula al derivar lo y finalmente al derivar esto nos queda menos 6 de verdad y nosotros en esencia lo que queremos es que estas dos derivadas parciales sean igual a 0 verdad entonces cuando igualamos a 0 la primera expresión lo que podríamos hacer primero es una factorización podemos factorizar 6x y aquí 6x tendría que multiplicar ayer para que nos dé el primer término y luego tendría que multiplicar a menos 1 para que nos dé - 6x y esto es lo que tiene que ser igual a 0 verdad entonces lo que podemos ver es que tenemos un producto de 2 números que nos da 0 entonces el primero es 0 o el segundo es 0 esto quiere decir que x tendría que ser 0 entonces de aquí x es igual a 0 o bien que tendría que ser igual a 1 verdad y eso es para que esta expresión nos dé 0 entonces este tendría que ser digamos el primer requisito verdad para que sea punto crítico ahora bien podemos utilizar esta información en nuestra segunda ecuación que queremos igualar a 0 verdad entonces podríamos suponer primero que x es igual a 0 verdad y veamos qué es lo que pasaría entonces si x es igual a 0 que es nuestra primera condición verdad y lo sustituimos en esta expresión pues esto se anula y lo que nos queda es menos 3 de cuadrada menos 6 igual a 0 verdad entonces nuevamente aquí podríamos factorizar menos tres y menos tres y hay que multiplicarlo porque para que nos dé menos tres de cuadrada y luego multiplicarlo por más 2 verdad para que nos dé menos 6 de verdad y esto es igual a cero entonces otra vez si este producto es igual a cero quiere decir que esto es cero o esto es cero pero esto es cero si es igual a cero y este factor es cero sigue es igual a menos dos muy bien entonces esta es la primera situación cuando x toma el valor de 0 que era la parte del primer requisito entonces ya puede tener dos opciones o es cero o es menos 2 veamos qué pasa en la otra situación qué pasa si ahora ya es igual a 1 en este caso sustituimos en esta expresión y tendríamos vamos a ponerlo con amarillo tendríamos 3x cuadrada menos 3 por 1 al cuadrado menos 6 por 1 y esto nos da 0 verdad eso queremos que sea 0 pero antes vamos a simplificarlo esto será 3x cuadrada menos 3 por 1 al cuadrado será menos 3 y menos 6 por 1 es menos 6 entonces menos 3 y menos 6 nos da menos 9 todavía podemos simplificarlo porque podríamos factorizar 3 que multiplica a x cuadrada menos 3 y esto es lo que queremos que sea igual a cero entonces aquí podemos ver que 3 pues no va a ser cero entonces quién tiene que ser cero es x cuadrado menos 3 quiere decir que x tiene que ser la raíz cuadrada de 3 la raíz cuadrada de 3 o puede ser también menos la raíz cuadrada de 3 entonces si nos damos cuenta ya encontramos las condiciones digamos complementarias para que los puntos sean puntos críticos verdad y en esencia tenemos cuatro posibilidades primero tenemos el caso en el que x vale 0 entonces tendríamos el caso en el que x vale cero y tenemos posibilidades en cuyo caso tendríamos la posibilidad de que lleva al ga 0 o de que lleva algo menos 2 muy bien y en la siguiente situación tendríamos que ya tiene que valer 1 verdad y tenemos dos posibilidades la primera posibilidad es que x valga raíz de tres y la otra posibilidad es de que x valga menos la raíz de tres y estos cuatro puntos que hemos encontrado aquí son los puntos críticos son los puntos críticos verdad son justo donde el gradiente se anula y lo que haremos en el siguiente vídeo será clasificar estos cuatro puntos críticos ya sea en máximos mínimos o puntos y allá