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Ejemplos de multiplicadores de Lagrange

Ejemplos del Lagrangiano y de la técnica de los multiplicadores de Lagrange en acción.

La técnica del multiplicador de Lagrange. Recapitulación rápida

Optimización restringida
Crédito de la imagen: por Nexcis (trabajo propio) [Dominio público], a través de Wikimedia Commons
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable f(x,y,) sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante g(x,y,)=c, sigue estos pasos:
  • Paso 1: introduce una nueva variable λ y define una nueva función L como sigue:
    L(x,y,,λ)=f(x,y,)λ(g(x,y,)c)
    Esta función L se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable λ se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
  • Paso 2: haz el gradiente de L igual al vector cero.
    L(x,y,,λ)=0Vector cero
    En otras palabras, encuentra los puntos críticos de L.
  • Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como (x0,y0,,λ0). Sustituye cada una en f. O más bien, primero quita la componente λ0, después sustitúyela en f, ya que λ no es una entrada de f. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.

Ejemplo 1: restricciones presupuestarias

El problema

Supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus costos son predominantemente mano de obra, que cuesta $20 por hora para tus trabajadores y el propio acero, que cuesta $170 por tonelada. Supón que tus ingresos, R, se modelan vagamente por la siguiente ecuación:
R(h,s)=200h2/3s1/3
  • h representa las horas de trabajo
  • s representa las toneladas de acero
Si tu presupuesto es de $20,000, ¿cuál es el ingreso máximo posible?

Solución

Los costos de $20 por hora de trabajo y de $170 por tonelada de acero nos dicen que el costo total de producción, en términos de h y s, es
20h+170s
Por lo tanto, el presupuesto de $20,000 se puede traducir en la constricción
20h+170s=20,000
Antes de profundizar en el cálculo, puedes darte una idea de este problema al usar el siguiente diagrama interactivo. Puedes ver cuáles valores de (h,s) dan un ingreso dado (curva azul) y cuáles satisfacen la constricción (recta roja).
Como necesitamos maximizar una función R(h,s), sujeta a una constricción, 20h+170s=20,000, empezamos por escribir la función lagrangiana para esta configuración:
L(h,s,λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000)
A continuación, hacemos el gradiente L igual al vector 0. Esto es lo mismo que hacer cada derivada parcial igual a 0. Primero, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a h.
0=Lh0=h(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20023h1/3s1/320λ
A continuación, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a s.
0=Ls0=s(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20013h2/3s2/3170λ
Por último, hacemos la derivada con resepcto a λ igual a 0 que, como siempre, es igual a la constricción. En la práctica, puedes solamente escribir la propia constricción, pero vamos a escribir la derivada parcial para tener las cosas más claras.
0=Lλ0=λ(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20h170s+20,00020h+170s=20,000
Al juntarlo todo, el sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es
0=20023h1/3s1/320λ0=20013h2/3s2/3170λ20h+170s=20,000
En la práctica, cuando tengas un sistema de ecuaciones como este, casi siempre debes usar una computadora. En especial porque, en las aplicaciones reales, es muy probable que la ecuación sea más complicada que esta. Una vez que lo resuelvas, vas a encontrar que la respuesta es
h=2,0003666.667s=2,0005139.2157λ=A8,00045932.593
Esto significa que debes emplear alrededor de 667 horas de mano de obra y comprar 39 toneladas de acero, lo cual te dará un ingreso máximo de
R(667,39)=200(667)2/3(39)1/3$51,777
La interpretación de esta constante λ=2.593 se trata en el siguiente artículo.

Ejemplo 2: maximizar el producto punto

Problema: sea el vector tridimensional v definido como sigue.
v=[231]
Considera todos los posibles vectores unitarios u^ en el espacio tridimensional. ¿Para cuál es mayor el producto punto u^v?
El siguiente diagrama es bidimensional, pero la intuición no cambia mucho cuando nos movemos a tres dimensiones.
Producto punto del vector unitario
Analogía bidimensional del problema tridimensional que tenemos. ¿Cuál vector unitario u^ maximiza el producto punto u^v?
Si eres hábil con el producto punto, es posible que ya sepas la respuesta. Es uno de esos hechos matemáticos que valen la pena recordar. Si no sabes la respuesta, ¡mucho mejor! Porque ahora vamos a encontrar y probar el resultado al usar el método del multiplicador de Lagrange.
Solución:
Primero, necesitamos decir exactamente cómo es que este es un problema de optimización con constricciones. Escribimos las coordenadas de nuestros vectores unitarios como x, y y z:
u^=[xyz]
El hecho de que u^ sea un vector unitario significa que su magnitud es 1:
||u^||=x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1
Esta es nuestra constricción.
Maximizar u^v significa maximizar la siguiente cantidad:
[xyz][231]=2x+3y+z
El lagrangiano, con respecto a esta función y la constricción de arriba, es
L(x,y,z,λ)=2x+3y+zλ(x2+y2+z21).
Ahora resolvemos para L=0 al hacer cada derivada parcial de esta expresión igual a 0.
x(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=2λ2x=0y(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=3λ2y=0z(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=1λ2z=0
Recuerda, hacer la derivada parcial con respecto a λ igual a 0 solo reitera la constricción.
λ(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=x2y2z2+1=0
Resolviendo para x, y y z en las primeras tres ecuaciones de arriba, obtenemos
x=212λy=312λz=112λ
Ah, qué hermosa simetría. Cada una de estas expresiones tiene el mismo factor 12λ, y los coeficientes 2, 3 y 1 coinciden con las coordenadas de v. Siendo los buenos estudiantes de matemáticas que somos, no vamos a desaprovechar una buena simetría. En este caso, al combinar las tres ecuaciones de arriba en una sola ecuación vectorial, podemos relacionar u^ y v como sigue:
u^=[xyz]=12λ[231]=12λv
Analogía bidimensional que muestra los dos vectores unitarios que maximizan y minimizan la cantidad u^v.
Por lo tanto, ¡u^ es proporcional a v! Geométricamente, esto significa que u^ apunta en la misma dirección que v. Hay dos vectores unitarios proporcionales a v,
  • Uno que apunta en la misma dirección. Este es el vector que maximiza u^v.
  • Uno que apunta en la dirección opuesta. Este minimiza u^v.
Podemos escribir estos dos vectores unitarios al normalizar v, lo que significa dividir v entre su magnitud:
u^máx=v||v||u^mín=v||v||
La magnitud ||v|| es 22+32+12=14, así que podemos escribir el vector unitario que maximiza, u^máx, explícitamente así:
u^máx=[2/143/141/14]

Solo sáltate el lagrangiano

Si leíste el artículo anterior, te acordarás que la idea del lagrangiano L es que hacer L=0 conforma las dos propiedades que debe satisfacer un máximo con constricciones:
  • La alineación del gradiente entre la función objetivo y la función de constricción,
    f(x,y)=λg(x,y)
  • La constricción misma,
    g(x,y)=c
Cuando se trabajan los ejemplos, te puedes preguntar por qué nos molestamos en escribir el lagrangiano. ¿No sería más fácil empezar con estas dos ecuaciones en lugar de volver a establecerlas cada vez a partir de L=0? La respuesta corta es sí, sería más fácil. Si te encuentras resolviendo a mano un problema de optimización con constricciones, y recuerdas la idea de la alineación de los gradientes, siéntete libre de trabajar eso sin preocuparte por el lagrangiano.
En la práctica, a menudo es una computadora la que resuelve estos problemas, no un humano. Dado que hay muchos programas optimizados para encontrar cuando el gradiente de una función dada es 0, es tanto limpio como útil encapsular nuestro problema en la ecuación L=0.
Además, el propio lagrangiano, al igual que varias funciones que se derivan de él, aparecen con frecuencia en el estudio teórico de la optimización. Bajo estas circunstancias, razonar acerca de un solo objeto L en lugar de múltiples condiciones, hace más fácil ver la conexión entre las ideas de alto nivel. Sin mencionar que es más rápido de escribir en un pizarrón.
En cualquier caso, cualquiera que pueda ser tu relación a futuro con la optimización con constricciones, es bueno ser capaz de pensar acerca del propio lagrangiano y de lo que hace. Los ejemplos anteriores ilustran cómo funciona, y con suerte te ayudarán a hacer tuyo el hecho de que L=0 encapsula tanto a f=λg como a g(x,y)=c en una sola ecuación.

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