AIME II del 2003. Problema 1

tengo aquí este problema del examen en mi del 2003 el cual es uno de los mejores exámenes que se aplican a las competencias matemáticas que existen en eeuu que por cierto es el problema número uno y dice el producto n de 3 entre los positivos es 6 veces su suma en uno de estos enteros positivos es la suma de los otros dos encuentra la suma de todos los posibles valores de n así que vamos a resolverlo y lo primero que voy a hacer es escribir a estos tres enteros positivos así que voy a decir que a b y c son precisamente estos tres enteros positivos que yo tengo muy bien y ahora qué datos me dan lo primero que me dicen es que el producto de estos tres enteros positivos es decir a por b por sem es igual a n que por cierto esto es lo mismo a 6 veces la suma de estos tres centros positivos así que déjame ponerlo con otro color esto que estoy poniendo de color morado es justo lo que está diciendo una ecuación aquí abajo de color morado del mismo color aporté porsche es igual a n y por otra parte tengo que esto es igual a 6 es la suma de a b c es decir 6 veces la suma de sus tres entre los positivos y después dice uno de ellos es la suma de los otros dos uno de estos enteros positivos es la suma de los otros dos así que sin pérdida de generalidad me voy a tomar hace puede ser cualquiera de estos dos pero recuerda que son nombres así que pues mi elegido va a ser sem se va a ser el entero el cual es la suma de los otros dos por lo tanto a más ben es igual hace aquí ya estoy utilizando la segunda frase y después me dice encuentra la suma de todos los posibles valores de n así que lo primero que voy a hacer es ya que tengo aquí el valor de cm pues porque no lo sustituimos en esta ecuación que tengo aquí arriba ya sé que a más b es igual a cero entonces voy a tomar el valor de cm y lo voy a sustituir tanto aquí como aquí y así al menos reducir un poco toda esta ecuación que tengo aquí arriba si te das cuenta ya con esto voy a pasar a tener una expresión con dos incógnitas en lugar de con tres incógnitas por lo tanto me va a quedar a por b pero en este caso lo voy a escribir como ven a por b por c entonces lo que daría por ver que multiplica esto es igual a n que por cierto es igual a 6 veces a más ve más se ha más b pero en lugar de s voy a escribir a más b recuerda que pse es igual a más b por lo tanto seis veces más ven más a más ven y entonces esta ecuación que por cierto esto es lo mismo que n ya la podemos reducir un poco porque aquí en este lado derecho tengo seis veces más ve más a más b lo cual es dos veces más dos veces bien o dicho de otra manera inclusive esto lo podemos ver si sacamos como factor común el 2 como 6 por 2 que son 12 12 veces más b si saco como factor común al 2 no quedaría seis por dos programas bien es decir 12 programas y esto es igual a por b que multiplica a su vez a más ver que por cierto el valor de ese entonces me queda por ver que multiplica a más veces igualdad 12 por a más y a mí se me ocurre que aquí podemos cancelar a más ve tengo a más multiplicando tanto a por ver cómo va a 12 por lo tanto qué te parece ese cancelamos a más ven dividiendo ambos lados de la ecuación entre ambas ve y entonces si yo canceló a más ver solamente me voy a quedar con que a por ben es igual a 12 y esto me va a servir bastante así que dejamos comentó aquí abajo si yo canceló este ya éste me queda que a por bent es igual a 12 y ya casi tenemos la solución de este problema porque fíjate muy bien con mucho ojo porque aquí está es lo más importante estamos buscando dos enteros positivos que su multiplicación sea 12 pues a ver vamos a pensarlo tantito voy a poner aquí a am a b ya sé ya está aquí al final voy a poner aa por ver por csn me voy a fijar en dos enteros positivos que su multiplicación sea 12 pues los primeros que se te pueden ocurrir es 1 y 12 1 por 2 es 12 y 1 más 12 es 13 entonces se vale 13 y si yo multiplico 1 por 12 por 13 esto es lo mismo que 12 por 12 que 144 más 12 que es 156 ya está puedes verificar que realmente sí funcione porque fíjate bien si sumó uno más 12-13 pues esto es lo mismo que 26 y 6 por 26 156 que es justo lo que quería y lo que me dice el problema pero todo esto por esta construcción que acabo de hacer muy bien ya tengo una hay una vez que son enteros positivos tales que su multiplicación sea 12 ahora me voy a fijar en 2 y 6 2 por 6 es 12 26 8 y 2 por 6 12 por 8 estos 96 vuelve a cumplir otra vez todo 2006 es 88 16 por 66 96 y los últimos que nos faltan es 34 3 por 4 es 12 y 34 es 7 entonces 3 por 4 es 12 por 7 es 84 de cros estoy diciendo de más aportes siempre es 12 12 por 7 es 84 y bueno igualmente si sumó tres más 4 714 14 por 6 es 84 muy bien y ahora lo que quiero que veas es que ya no existen más enteros positivos a ive tales que su multiplicación sea 12 ya tenemos todas las posibles combinaciones o eyes 1 y best 12 2 y b6 oa estrés y bs 4 no hay más este es el paso más importante de este problema súper difícil darte cuenta que no existe otra posibilidad y ahora fíjate bien lo que me piden es la suma de todos posibles valores de n y como es de s n entonces vamos a sumar esto y ya acabamos el problema 6 +6 es 12 416 llevamos una 9 y unas son 10 y una son 15 y 8 son 23 sirvan 23 sin 23 llevamos 2 y después 12 13 336 y ya está la respuesta de este problema es 336