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Transcripción del video

dos enteros positivos difieren por 60 la suma de sus raíces cuadradas es la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto ok creo que el enunciado es un poquito complicado vamos a irlo desmenuzando vamos a irlo separando por pedazos para entenderlo muy bien nos dice dos enteros positivos difieren por 60 eso quiere decir que si tenemos por ejemplo a y b son dos enteros positivos y estos son enteros enteros entonces nos dice que su diferencia a menos b es 60 esto inmediatamente nos está diciendo que a no es otra cosa si sumamos por ejemplo b de ambos lados nos dice que esto es b más 60 ok entonces esto es esta primera parte después nos dice la suma de sus raíces cuadradas es la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto entonces la suma de sus raíces esto sería raíz de a más la raíz de b es igual a la raíz cuadrada de un entero positivo esa es igual a la raíz cuadrada de un entero positivo entonces se es entero pero nos dice que no es un cuadrado perfecto como no es un cuadrado perfecto quiere decir que la raíz de ese no es entero no es entero muy bien ahí lo tenemos entonces vamos a ver nos piden calcular cuál es el máximo valor posible para la suma de los dos enteros entonces queremos maximizar a + b para eso está esta expresión de aquí parece un poco complicada entonces para simplificar la y para obtener muchísima información del problema vamos a elevar de ambos lados al cuadrado aquí vamos a elevar al cuadrado y aquí también entonces si desarrollamos este cuadrado tenemos raíz de a al cuadrado es a más dos veces raíz de a por raíz de b que es la raíz de ave más raíz de b al cuadrado que es b debe ser igual hace muy bien entonces aquí es en donde vamos a obtener mucha información porque vamos a ver algo muy importante de el producto de ahí b entonces fíjense muy bien que a es entero también ve es entero entero y se también es entero muy bien entonces fíjense que estoy sumando un entero y un entero más otra cosa me debe dar un entero entonces necesariamente esto de aquí dos veces la raíz de ave debe ser entero muy bien pero más aún yo lo que afirmo es que la raíz cuadrada de a por b es un entero y fíjense muy bien porque si como como dos veces la raíz de a por b es entero entonces dos veces la raíz de ave es igual a un número que es que se enteró muy bien entonces esto es entero ahora bien quién sería la raíz cuadrada de a por b la raíz cuadrada de a por b es igual acá entre 2 y aquí es en donde vamos a hacer este siguiente truco imagínense por un momento que la raíz cuadrada de a por b no es entero quiere decir entonces para que esto ocurra a la hora de dividir k entre 2 esto no se enteró quiere decir que acá tiene que ser impar es decir que no sea múltiplo de 2 verdad de esta forma esto sería un número racional una fracción ok entonces si elevamos ahora al cuadrado si elevamos al cuadrado de ambos lados tenemos a por d es igual a k cuadrada entre 4 entonces acá cuadrada como caerá un impar entonces acá cuadrada sigue siendo impar muy bien sigue siendo impar pero a este número impar lo divido entre 4 y esto por supuesto como es impar y al dividirlo entre 4 esto no es entero esto no es entero pero tenemos un problema porque esto era igual a x b y a por b es un entero es el producto de dos enteros entonces aquí hubo algo que no funcionó y fue suponer que la cadena impar es decir que la raíz de a por b no era entero entonces raíz de a por b es un entero eso es lo que estamos concluyendo estamos concluyendo que la raíz cuadrada de a por b tiene que ser un entero tiene que ser tiene que ser un entero y vamos a repasar tantito que fue lo que dijimos dijimos si suponemos que la raíz cuadrada de a por b no es entero entonces resulta que queda por b no es entero y eso claramente si era entonces lo que estuvo mal fue decir que la raíz de a por b no era entero entonces como la raíz de acorde tiene que ser un entero esto significa también que si elevamos al cuadrado entonces la raíz perdón la raíz estamos elevando al cuadrado entonces a por d tiene que ser es es un cuadrado perfecto es un cuadrado perfecto es un cuadrado perfecto muy bien entonces que significa que sea un cuadrado perfecto quiere decir que la multiplicación de a por b es un número entero al cuadrado muy bien entonces si si tienes a a sabemos que es b más 60 entonces b más 60 si al al multiplicarlo por b debe ser un cuadrado perfecto esto es un n cuadrada donde n es entero ok otra vez estamos jugando con puros enteros entonces si desarrollamos aquí tenemos b por vez de cuadrada más 60 b y aquí voy a dejar un espacio ahorita te digo para que y esto debe ser n cuadrada ahora en este espacio lo dejé porque en este momento lo que voy a hacer es completar el trinomio cuadrado perfecto entonces tengo que ver que que constante sumarle para que esto sea un trinomio cuadrado perfecto y esto simplemente sale de dividir 60 entre 2 que son 30 y elevarlo al cuadrado que son 900 entonces para que esta igualdad se preserven yo agrego 900 y se los restó el detalle es que ahora yo voy a poder agrupar esto de aquí y esto de aquí me queda como ve más 30 al cuadrado verdad si si tienes dudas de cómo como completar trinomios cuadrados perfectos consulta las listas están en quizás en la lista de álgebra seguramente muy bien entonces ahora a esto le restó 900 que es lo que queda aquí y esto debe ser igual a n cuadrada muy bien entonces qué es lo que voy a hacer ahora lo que voy a hacer ahora es lo siguiente voy a restar n cuadrada de ambos lados n cuadrada de ambos lados y sumar a 900 de ambos lados entonces sumamos 900 y restamos encuadrada lo que consigo es esto se cancela y esto se cancela y lo que tengo ahora es al sumar lo que tengo b más 30 al cuadrado - n cuadrada y esto es una diferencia de cuadrados eso era lo que yo quería conseguir con este con estas operaciones esto me debe dar 900 muy bien entonces como factor hizo una diferencia de cuadrados pues es de más 30 más n por ve más 30 menos en verdad y esto debe ser 900 muy bien entonces la diferencia de cuadrados se factorizar de esa forma simplemente sumas las dos raíces de cada uno y luego multiplicas por este menos la raíz de este que es justamente lo que hicimos en este paso entonces fijémonos muy bien en lo siguiente todo esto son números enteros de más 30 más en es entero de más 30 menos n pero me debe dar perdón novecientos entonces tengo un producto de dos números que me da 900 y además fíjense en lo siguiente que ve más 30 más n si le sumamos ve más 30 menos en esto nos debe dar 2 b más 60 que por supuesto esto de aquí es par entonces dos números que sumados me dan par quiere decir que ambos son pares o ambos son impares muy bien pero por otro lado el producto de dos números es que es 900 que es un número par este es para este producto el producto el producto es par entonces si un producto de dos números es park quiere decir que al menos uno de ellos es par pero ambos serán pares o ambos serán impares quiere decir entonces concluyendo que este es par y este también es par muy bien entonces con esto lo que hemos conseguido es que ahora basta con analizar qué factores de 900 son ambos pares muy bien y ver que coincidan con todas las restricciones y todas las observaciones que hemos hecho hasta este momento ese es nuestro objetivo ahora y ver cuál es la ve más grande para obtener lo que queremos fíjense que si nosotros más maximizamos ve inmediatamente como a sven más 60 entonces también va a estar maximizado y por lo tanto la suma va a estar maximizada así que vamos a encontrar cuál es la vez más grande que satisface esto vamos a ver y nos vamos a ir analizando los factores de 900 entonces en principio uno podría decir ah bueno tenemos uno y 900 pero este queda descartado porque ambos tienen que ser pares verdad entonces uno podría decir bueno que tal dos y 450 estos dos son factores de 900 y es bueno que al multiplicarse dan 900 ambos son pares ahora vamos a ver qué pasa vamos a ver qué pasa porque ven más 30 más n debe ser 450 450 y ve más 30 - n debe ser igual a 2 entonces si nosotros sumamos nos quedan 2 b más 60 esto se cancela nos quedan 400 52 y entonces 2 b restamos 60 de ambos lados tenemos 2 b es 452 menos 60 son 392 ahora si dividimos de ambos lados entre dos nos queda que ve es 102 2 por 1 son 2 llevo unas 196 muy bien entonces ve son 196 vamos a ver entonces esto ya me está diciendo quienes ve simplemente ahora decimos que si b es 196 entonces sería 196 más 60 que son 256 y sabemos que la raíz cuadrada de a más la raíz cuadrada de bbb tiene que ser un número que no se enteró entonces la raíz cuadrada de a es ok es la raíz cuadrada de 256 más la raíz cuadrada de 196 la raíz de 256 son 16 la raíz de 196 son 14 y esto está muy bonito porque nos dio que la suma de las raíces es 30 pero mucho cuidado y hay que tener muy buena muy buena vista y muy buena y tener muy buena memoria de qué era lo que queríamos obtener la suma de las raíces cuadradas debe dar un número raíz de c que no sea entero y aquí obtuvimos 1 que si es entero entonces para b igual a 196 perdón para de igual a 196 y igual a 256 cumple todo excepto que es la suma de las raíces cuadradas no es más bien si es un número entero y no lo queremos entero así que esto es inmediatamente hay que descartarlos muy bien entonces tendremos que seguir por ejemplo qué tal si tomamos el 3 entonces sería 3 por 300 nos da 900 pero éste tampoco podemos elegirlo porque ambos tienen que ser pares que tal 4 si tomamos 44 x serían 4 por 225 nos da 900 pero otra vez no son ambos pares si nos vamos con el 5 bueno no importa cuál sea el otro factor 5 no es par entonces vamos con el 6 el 6 por ciento 50 nos da 900 entonces vamos a ver si quizás esto funciona vamos a ver 6% 50 entonces se debe cumplir que ve más 30 más en es 150 y que ve más 30 - cn es 6 muy bien entonces si nosotros sumamos nos quedan 2 b más 60 estos nuevamente se cancelan nos debe dar 156 y si restamos 60 de ambos lados nos queda que 2 b es igual a 96 si restamos 60 restamos 50 y luego 10 y entonces si dividimos entre 2 nos queda que b es igual a 48 48 muy bien entonces si ves 48 a 60 más que éste entonces son 108 108 y quién es la raíz de 108 la raíz de 108 más la raíz de 48 vamos a ver raíz de 108 es por ejemplo podemos factorizar un 44 por 2 son ocho y llevamos dos y nos quedan es 4 por 27 pero a 27 le podemos factorizar 9 y nos queda 3 verdad es 9 por 3 por 4 entonces esto nos queda dos por tres que son 6 raíz de 3 más ahora raíz de 48 cuanto es 48 le podemos factorizar 8 por ejemplo no nos conviene es es 3 veces 16 esto es 3 veces 16 y la raíz de 16 es 4 entonces tenemos 4 raíz de 3 y esto nos queda simplemente 10 veces la raíz de 3 y esto está muy bien esto está muy bien porque esta suma nos dio algo que no es entero este número no es entero entonces uno podría decir que este es un muy buen candidato y de hecho es el mejor candidato que podemos tener si nos damos cuenta a medida que vayamos avanzando los la diferencia entre estos factores se va apareciendo cada vez más quiere decir que a la hora de hacer esto a la hora de hacer esto vamos a obtener veces cada vez más chicas entonces te invito a que hagas el ejercicio que te comienzas tú mismo de que si si continúas bueno 7 no funcionaría verdad pero 8 por no no sé cuánto sea pero pero si tú hicieras el resto entonces vas a darte cuenta que ve cada vez tiene que ser mucho más pequeño entonces dan la respuesta óptima para be es esta cuando los dos factores son 6 y 150 nos da que b tiene que ser b tiene que ser 48 ya tiene que ser 108 esta es la respuesta a este problema y bueno en realidad la respuesta es para la suma verdad entonces es igual a 108 48 que esto es 156