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Transcripción del video

los miembros de un comité estaban eligiendo un presidente y cada miembro dio su voto a favor de uno de los 27 candidatos para cada candidato el porcentaje exacto de votos que obtuvo fue menor por al menos 1 que el número de votos para dicho candidato que esto esto estuvo muy extraño vamos a leer nuevamente esto dice los miembros de un comité estaban eligiendo un presidente cada miembro dio su voto a favor de uno de los 27 candidatos ok eso es una información importante hay 27 candidatos ahora para cada candidato el porcentaje exacto el porcentaje exacto de votos que obtuvo fue menor por al menos 1 que el número de votos para dicho candidato la pregunta es cuál es el mínimo número de miembros para dicho comité así que para poder resolver este problema vamos vamos a definir algunas variables que nos permitan visualizar con aritmética álgebra y cómo resolver este problema no va a permitirnos ver restricciones que tenemos para el total de miembros entonces digamos que m es el número de miembros del comité número de miembros ok entonces y también vamos a definir otra variable necesitamos el número de votos verdad fue aquí estamos hablando del porcentaje de votos que obtuvo fue menor que la blabla al menos 1 que el número de votos entonces digamos que se y es el número de votos número de votos de para el candidato candidato y ok estamos pensando entonces que y va es 1 2 3 y así sucesivamente hasta el 27 verdad tenemos 27 candidatos entonces qué es lo que nos dice el porcentaje exacto de votos cuánto cuál es el porcentaje de votos bueno tenemos que es la proporción verdad tenemos 6 entre m / m esto nos da un número entre entre 0 y 1 verdad y si yo lo quiero en términos de porcentaje yo necesito multiplicar por 100 entonces este es el porcentaje de votos que obtuvo el candidato i y nos dice que tiene que ser menor o igual que por al menos 1 que el número de votos entonces no es es menor o igual que el número de votos pero además nos dice que al menos 1 entonces si le restamos 1 sigue siendo menor o igual entonces esta expresión de aquí hasta que acabo de escribir es exactamente lo que dice este enunciado que subraya con azul solo que de hecho esta es la parte más difícil del problema escribir este enunciado que es bastante truculento que es bastante engañoso y que realmente está yo creo pensado para distraernos y que tengamos confusión de cómo plantear el problema por una vez que está planteado va a ser muy sencillo ahora queremos nosotros minimizar el número de candidatos perdón el número de miembros del comité queremos minimizar el número de miembros del comité entonces si nosotros minimizamos el número de votos que se otorgaron a cada candidato ahí nos da un buen y un buen número para minimizar el número de miembros verdad porque el número de miembros será igual a la suma de todos los votos si sumamos todos los votos nos da todos los miembros del comité entonces vamos a minimizar el número de votos de cada candidato qué es lo que vamos a hacer vamos a escribir el mínimo mínimo número número de votos de votos por candidato por candidato muy bien muy bien entonces sí sí vamos a ir jugando con con los posibles números que tenemos aquí por ejemplo qué tal si no le hubiéramos dado votos a ningún candidato estoy inmediatamente te debe sonar raro pero lo que puedes ver es que al menos la diferencia es de 1 entonces de menos tuvo que haber un voto para cada candidato entonces este no es posible puede ser que le hayamos dado un voto a cada candidato pero entonces regresemos a esta expresión de aquí qué pasa si para algún candidato le dimos un voto entonces tendríamos que aquí esto vale 1 - 1 que esto es 0 verdad esto valdría 0 esto de aquí y si esto vale 0 aquí me está dando un porcentaje que es que es un número mayor que 0 entonces resulta que el porcentaje fue menor o igual que 0 le tendría que quedar que el porcentaje fue igual a 0 y eso no es posible verdad el porcentaje es un número positivo entonces este de aquí tampoco puede ser vamos a ver podría ocurrir podría ocurrir que a lo mejor tengamos dos votos mínimo por candidato entonces para visualizar mejor esto vamos a escribir esta fórmula distinto digamos esto esencialmente es 6% / m podemos sacar el recíproco o el inverso multiplicativo y nos queda m entre 100 y y aquí como sacamos el inverso tenemos que cambiar la desigualdad hacia mayor o igual y esto va a ser mayor o igual que el inverso del lado derecho que es 1 entre 1 entre y menos un ok entonces si ahora multiplicamos de ambos lados por 100 se nos queda que m es mayor o igual que ciencia / / 6 -1 muy bien entonces qué es lo que tenemos si nosotros tenemos que hay 2 votos por candidato el mínimo digamos que el mínimo es 2 votos entonces tenemos que si sustituimos aquí tenemos 100 por 2 son 200 entre 2 - 1 eso nos da que el número de miembros es mayor o igual que 200 muy bien tenemos al menos 200 miembros ok vamos a ver qué pasa si nosotros tenemos tres que tenemos tres que sea el mínimo número de votos entonces si lo sustituimos acá tendremos 3 por 100 son 300 entre 3 menos uno que son 2 300 entre 2 son 150 entonces tenemos m va a ser mayor o igual que 150 vamos a ver entonces fíjate que a medida que aumentamos el número de él el mínimo número de votos también disminuimos el número el número de elementos es decir m va a ser mayor o igual que 150 entonces a lo mejor 150 es nuestra propuesta vamos a ver qué pasa cuando tenemos 4 entonces 100 por 4 son 400 entre 4 menos 1 son 3 400 entre 3 son 133 con un tercio ok pero además m es un número entero y no puede ser 133 entonces al menos tienen que ser 134 muy bien vámonos por ejemplo ahora qué pasa si tenemos que el número mínimo de votos por candidatos 5 entonces tenemos 100 por 5 son 500 500 entre 5 menos 1 que son 4 son 125 entonces m es mayor o igual que 125 entonces a lo mejor 125 es nuestra propuesta sin embargo hay que considerar algo este también tenemos que considerar lo siguiente perdón tenemos que considerar lo siguiente hay que considerar que al menos también tenemos si el número de votos por candidato es por ejemplo 2 entonces tenemos 27 candidatos y por lo tanto de miembros hay 27 por 2 verdad si multiplicamos cualquiera de estos números por el número de candidatos también nos da una restricción para el número de miembros por ejemplo si tenemos 2 tenemos vamos a escribirlo el número mínimo el mínimo número de votos el mínimo número de votos y eso es una cota inferior o al menos un número mínimo para él para los miembros verdad entonces si tenemos dos votos por candidato al menos al menos vamos a tener 54 votos si tenemos 33 por 27 van a ser tres por 7 21 y llevamos 22 por 3 son 6 y 2 son 8 tenemos 81 sí tenemos 44 por 27 es 4 por 7 de 7 x 4 son 28 y llevamos 22 por 4 son 8 y llevamos 2 son 10 108 y si tenemos 55 por 27 son 135 muy bien entonces fíjate muy bien que aunque si tenemos 5 votos al menos también es cierto que al menos tenemos 135 entonces tenemos que al menos son 125 y al menos son 135 entonces el número de miembros debe ser al menos 135 pero aquí teníamos una cota mejor verdad 134 bueno aquí sí si el número de miembros debe ser más grande que 134 y más grande que 108 pues esta es la que le gana verdad es realmente la que hay que considerar entonces el número de miembros debe ser 134 al menos porque aquí ya nos dice que debe ser al menos 135 ésta es una mejor es un mínimo mejor verdad este 134 se puede alcanzar por ejemplo si tenemos 26 personas con 5 si una persona con cuatro votos verdad o bien podríamos tener 26 personas con 4 votos y una persona con 30 votos entonces esta sí se puede alcanzar de alguna forma cumple todo lo que hemos planteado y es el mínimo número posible