Problema trigonométrico de desafío: área de un hexágono

sean igual al 0 0 y b igual a 22 puntos en el plano coordenada sea a veces efe un hexágono equilátero esto es importante equilátero eso quiere decir que todos los lados tienen la misma longitud convexo y convexo lo que quiere decir es que no queremos cosas por este estilo no queremos cosas con capas digamos por ejemplo 1 2 3 4 5 6 esto sería un hexágono cóncavo entonces no queremos esto bien entonces queremos que este este vértice esté votado hacia afuera por así decirlo muy bien entonces sea abc df un hexágono equilátero convexo tal que el ángulo efe ave es igual a 120 grados y luego nos dan una serie de relaciones de paralelismo entre los lados y además es tal que las coordenadas de sus vértices son miembros distintos del conjunto cero 2 4 6 8 10 el área del hexágono puede ser escrita como m por la raíz de n dónde m y n son enteros positivos y n no es divisible por algún cuadrado de un número primo esto quiere decir lo único que quiere decir esto más bien es que esta raíz está simplificada lo más posible encuentra el valor de msn y bien aquí ya me tomé la libertad de poner un eje y las alturas a las que tienen que estar los vértices los miembros de este conjunto de hecho nosotros ya sabemos algo por ejemplo el vértice ajá sabemos que está aquí en el 0 0 el vértice a es el 0 0 no puse las coordenadas x para no confundirnos y tratar de irnos con la cinta de las longitudes el vértice b tiene que estar en coordenadas de 2 así que está en algún punto de esta recta digamos vamos a ponerlo aquí si les parece bien aquí tendremos ave que está en las coordenadas de dos entonces éste sería un lado de mi hexágono estoy aquí sería el lado de mi hexágono y por lo tanto tiene una longitud s recuerden todos los lados tienen la misma longitud no necesariamente son iguales los ángulos porque no es un hexágono regular sino un hexágono equilátero pero ahora bien el otro vértice que se conecta con ad es el vértice efe y donde podríamos poner al vértice f pues lo podríamos poner en cualquiera de estas alturas porque yo usamos el cero y usamos el dos pero resulta que si lo ponemos por ejemplo aquí en el 6 no podríamos dibujar un hexágono convexo así que vamos a poner a nuestro vértice efe vamos a decir que está por aquí ese va a ser nuestro vértice efe de nuevo esto sería un lado de nuestro hexágono y aunque no lo parezca esto también tendría longitud s ahora bien el vértice ce ya no puede estar ni en el 0 ni en el 2004 tiene que tener altura digamos 6 así que vamos a poner a c por aquí aquí tendremos al vértice ce de nuevo este lado en este lado tiene longitud s bien y ahora donde podríamos poner el vértice al vértice pues antes que nada observen que si recorrí en esta diagonal una longitud ese y subí cuatro espacios entonces sí pongo al vértice aquí tendré que regresar al eje y por qué me pongo aquí el vértice la razón es porque este lado perdón también tiene longitud s así que puedo pensar en esto aquí podría haber un triángulo rectángulo de hipotenusa s y lado 4 aquí tengo otro triángulo rectángulo de hipotenusa s y del lado 4 entonces este lado de aquí tiene que tener la misma longitud bueno y con exactamente el mismo argumento podría probarles que el vértice de tendría que estar aquí y dónde es allí pues allí lo que resulta es que el vértice el vértice de que recuerden esto también es ese por el mismo razonamiento que acá este vértice de tiene que tener coordenadas b 10 porque recorrido distancia es esa acá y ahora recorro distancia s en el sentido opuesto así que algo así se ve mi hexágono esto también tiene longitudes y las relaciones de paralelismo que me dan que me dicen ave es paralelo a de ave este lado es paralelo a d luego veces es paralelo efe bs a veces es paralelo efe pues más o menos parece que si finalmente cede cd donde esta sede acá esta sede 123 es paralelo a ese a eso también podría ser creíble bien entonces ya que tengo este hexágono lo que voy a querer hacer es quizás primero encontrar cuánto vale ese bien así que quiero encontrar ese para después encontrar el área déjenme voy a borrar esto de aquí para que no nos estorbe en el futuro bien entonces la longitud de s depende de la inclinación que tenga esta recta así que si yo llamo este ángulo este ángulo lo voy a llamar theta entonces ese va a ser función de teta y de hecho recuerden que el ángulo efe ave es de 120 grados así que cuánto vale este ángulo de acá vale este pues vale 180 menos 120 menos teta 180 menos 120 es 60 así que este ángulo vale 60 menos teta perfecto entonces en este triángulo se ha construido un triángulo rectángulo tengo el ángulo para el ángulo theta la hipotenusa tiene longitud este a la altura tiene la longitud 2 y para el ángulo 60 menos theta la hipotenusa de nuevo tiene longitud s pero ahora la altura es de 4 así que voy a copiar esos dos triángulos acá este sería el primero que tiene ángulo el triángulo de aquí es de 60 menos teta esta longitud de ss de la hipotenusa y está longitud es cuatro y por acá tengo el otro triángulo que tiene ángulo teta hipotenusa s y altura 2 perfecto entonces cuánto vale el seno de este triángulo de este ángulo cuánto vale el seno de 60 minutos teta pues por definición de seno el seno de 60 menos teta va a ser igual al cateto opuesto entre la hipotenusa es decir 4 entre s y que hay de el seno de trata se note está de acuerdo con este triángulo valdría 2 valdría 2 / s muy bien ahora si multiplicó esta ecuación por 2 esto se convierte en un 4 y entonces tengo que el seno de 60 menos teta es igual a 4 s pero eso también es igual a dos veces el seno de teta así que vamos a igualar estas cosas tengo que el seno ejemplo escribo así dos veces el seno de teta va a ser igual a el seno de 60 menos teta pero nosotros sabemos de nuestros vídeos de trigonometría podemos aplicar algunas identidades trigonométricas y podríamos reescribir esto como dos veces el seno de teta dos veces el seno de teta va a ser igual el seno de a menos b es igual a el seno de a por el coste no debe menos el seno de b por el coste no de as es decir en este caso eso se convierte en el seno de 60 60 por el coche no detecta menos el coseno de 60 x por el seno de theta y bien cuánto vale el seno del 60 pues nosotros ya sabemos que el seno de 60 vale raíz de 3 sobre 2 de 3 sobre 2 y cuánto vale el coche no es 60 pues vale un medio así que voy a reescribir todo esto como dos veces el seno de teta es igual a a raíz de tres entre dos por el coche no detecta menos menos un medio el seno de teta ahora bien si sumo un medio seno de teta de ambos lados tendría cinco medios cinco medios del seno de teta es igual a raíz de 3 entre todos por el coche no de teta y este un medio seno y tetas se cancela así que ahora podría multiplicar toda esta ecuación por 2 y obtener que cinco veces el seno de teta es igual a raíz de 3 por el coseno de teta ahora bien qué pasa si elevó esta ecuación al cuadrado lo hago para poder usar la identidad de que el coche no al cuadrado detecta más el seno al cuadro de teta es igual a 1 pues de este lado tengo 25 seno de teta al cuadrado es igual a 3 veces no voy a poner coseno al cuadrado de teta voy a poner uno menos el seno al cuadrado de teta pero cuánto va listo pues esto simplemente es 25 se no cuadra detecta 25 1 cuadra de 30 es igual a 3 menos tres veces el seno cuadrado de teta pero eso cuánto vale pues sí y ahora sumó 13 no sé no cuadra de tetas de ambos lados obtendría 28 seno cuadrado de teta es igual a 3 o en otras palabras seno cuadrado teta es igual a 3 entre 28 o aún más el seno etc el seno de teta es igual a la raíz cuadrada de 3 entre 28 y quizás podría simplificar eso por ejemplo 28 es igual a 4 por 7 así que podría sacar de aquí un 2 pero creo que basta con esto volvamos aquí tenía antes de manipular esta ecuación que el seno de theta era igual a 2 entre s así que el seno teta es igual a 2 en 3 me lo pongo aquí esto es igual a 2 / s es lo que obtuvimos de este triángulo y traca y entonces de allí concluyó que s s es igual a multiplicó por s y dividido entre la raíz cuadrada de 3 entre 28 o lo que es lo mismo multiplicó por su inverso multiplicativo y obtengo que s es igual a dos veces la raíz cuadrada de 28 entre 3 bien pues regresando al problema de el área de este hexágono primero que nada noten que aquí ahora que sé cuánto vale s puedo encontrar esta longitud puede encontrar esta altura para este triángulo de aquí y entonces puedo calcular su área vamos a llamar a esta altura h de height en inglés que significa altura entonces bien cuánto vale h pues si un sol teorema de pitágoras y recuerdo que esta longitud vale 4 y esto vale 4 simplemente porque es cuánto sube es estar a la altura del vértice f entonces yo sé que al cuadrado más 4 cuadrado que es 16 es igual a dice al cuadrado que es s valía 2 por la raíz cuadrada 28 en 3 entonces s al cuadrado es igual a 4 por 28 entre 3 bien entonces si ahora resto 16 de ambos lados puede escribir que h cuadrada es igual a 4 por 28 entre 3 voy a poner a 16 con denominador 3 menos 16 por 36 48 48 entre 3 así que al cuadrado es igual a 4 por 28 48 simplemente es 4 por 12 así que si factor hizo el 4 me queda el 12 todo eso entre 3d donde h va a ser igual a la raíz cuadrada de 4 por 28 menos 12 16 / o lo que es lo mismo la raíz cuadrada de 4 del 2 la raíz cuadrada de 16 64 entre la raíz de 3 o sea 8 entre la raíz de 3 esa es la altura de este triangulito así que cuánto vale el área déjenme voy a tratar de usar otro color el área de este triangulito vale 8 entre la raíz de 3 por la altura que vale 4 perdón esa es la altura la base vale 4 por un medio así que ocho por cuatro por un medio entre la raíz de tres o lo que es lo mismo ocho por dos entre los raíz de tres así que el área el área el área para decir el área de este triangulito es igual a 16 entre la raíz de tres pero noten que tengo cuatro de estos triangulitos este triangulito de aquí es idéntico a este triangulito de acá son congruentes tienen la misma base tienen la misma altura y lo mismo aplica para estos triangulitos de aquí recuerden esta longitud es común los dos tienen hipotenusa s y base 4 así que esto de aquí también vale h así que tengo 4 de estos triangulitos por lo tanto el área combinada de todos esos triangulitos toda el área que estoy sombreando vale 4 veces 4 veces esto así que tendría que el área de los triangulitos es 4 por 16 que es 48 entre raíz de 3 ahora sólo tengo que calcular el área de este paralelogramo de en medio de este paralelogramo que voy a rellenar de naranja de ese paralelo gramos de ahí bien pues de este paralelogramo yo conozco la base la longitud de la base es 8 esta longitud vale 8 4 y 4 así que sólo tengo que determinar esta altura tengo que terminar esta altura de aquí pero bueno quizás no debería ser h porque ya lo sé vamos a ponerle a de altura pero yo sé que aquí tengo un triángulo rectángulo y más aún esta distancia de acá es la misma que esta distancia de ti acá así que yo tengo que así lo dicho aquí cometiendo error 4 por 16 no hay es 48 4 por 16 no es 48 4 por 16 es 64 casi riego todo el problema así que 64 entre raíz de 3 ese es el área que llevamos acumulada y bien entonces quería calcular quería calcular esta pero yo sé que a cuadrada + 2 esta longitud de aquí al 2 al cuadrado o sea 4 es igual a s al cuadrado pero de nuevo es el cuadrado simplemente es 4 por 28 entre 3 así que de aquí obtengo que a cuadrada es igual a 4 por 28 entre 3 -4 para ponerlo con denominar 3 sería 12 - 12 tercios que sería lo mismo que cuatro por cuatro tercios por 28 28 - menos 3 perdón y 8 menos 3 es decir la cuadrada es igual a 4 por 25 que sería 100 entre 3 así que a vale 10 / raíz de 3 ah vale 10 / raíz de 3 esto de aquí vale 10 entre raíz de 3 de modo que el área de este paralelogramo es 8 por 10 entre raíz de 3 así que el área el área de todo este paralelogramo sería 80 realizar otro color eso no se ve 80 / raíz de 3 de modo que si sumo eso con el área que ya había calculado con estos 64 entre raíz de tres que ya tenía obtengo 64 entre raíz de 3 más 80 entre raíz de 3 esto es lo mismo que 144 / raíz de 3 si ahora racionalizó el denominador multiplicando por raíz de 3 / raíz de 3 obtengo 144 144 por raíz de tres entre tres esto sería el área total pero 144 entre 3 a cuánto es eso es 48 así que es 48 por raíz de 3 esa sería el área esto sería igual a m por la raíz de n pero el problema nos pide encontrar a m más n así que m 48 n van de tres así que esta suma vale 51