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AIME II del 2003. Problema 15 (parte 2)

Transcripción del video

donde nos quedamos en el vídeo anterior simplificamos un poco el polinomio p de x de esta forma pero aún no parece tan tratable así que aquí vamos a necesitar nuevamente nuevamente de una idea genial como para decir algo así como bajada ya sé cómo resolverlo y es y es usarlo justo en este en este polinomio azul que que encontramos muy bien aquí es en donde vamos a necesitar otra muy buena idea y esencialmente lo que podemos ver aquí es que tenemos la suma de las potencias de x que eso es una serie geométrica finita y que hemos visto en otros vídeos como cómo podemos simplificar esto bueno digamos que ese es justamente esta suma que es un bueno lo voy a poner como x así como esta x a la 23 más x a la 22 más x a la 21 más todos estos hasta x digamos más x1 ok y ahora voy a escribir quién es x por s quién es x por ese entonces si multiplicamos por x esta suma tendremos x a la 24 más x x x a la 22 es x a la 23 más x x x a la 21 es x a la 22 y así podemos ir sumando x a la 21 más todos sumamos todos estos tendremos de ser un poquito espacio más x cuadrada que es x x x y x x 1 es x muy bien entonces lo que yo quiero hacer ahora es restar los porque los quiero restar pues porque se parecen mucho verdad se parecen mucho en varios términos entonces si yo quiero calcular ese menos x s esto será igual bueno podemos ver que estos se cancelan estos también estos también todos se cancelan y sólo sólo sobrevive este uno y menos x a la 24 entonces tenemos uno menos x a la 24 que de hecho por ejemplo si multiplicamos por menos uno de ambos lados tendremos x s menos s igual a x a la 24 menos 1 muy bien y finalmente si uno quiere por ejemplo este y saber quién es ese pues simplemente lo factor izamos de aquí verdad tenemos ese hilo factor izamos tenemos ese que multiplica a x 1 es x a la 24 menos 1 y si dividimos entre x 1s será igual a x a la 24 menos 1 entre x menos 1 muy bien entonces ya aquí tenemos una expresión tenemos una expresión para este polinomio azul que estamos elevando al cuadrado entonces fíjate que en realidad como estamos elevando al cuadrado las raíces de este polinomio azul se repiten dos veces se repiten dos veces porque estamos elevando al cuadrado entonces vamos a leer nuevamente que decía el problema para no perdernos y dice queremos considerar z1 sentados hasta zr los distintos los distintos ceros aquí estamos marcando distintos ceros de px muy bien son aquellos puntos o aquellos números donde p se anula pero los queremos distintos y aquí se están repitiendo dos veces verdad en cursos más avanzados se le llama que tiene multiplicidad dos cada uno no nos importa la multiplicidad simplemente queremos todos aquellos que son distintos así que como realmente cero es una raíz porque aquí tenemos un factor x ese no nos va a importar mucho de hecho no nos importa porque 0 no contribuye en nada a la suma que tenemos aquí verdad queremos calcular la suma de los valores absolutos de la parte imaginaria del cuadrado de las raíces del polinomio yo sé que es complicado pero bueno vamos a seguir trabajando en esto entonces consideremos ya que hemos observado esto consideremos sólo el polinomio q de x igual a x a la 23 más x a la 22 todos estos términos x a la x al cuadrado más x + 1 sólo nos interesa saber los perdón las raíces de este polinomio verdad y justo porque dijimos que es las de las de pese repiten dos veces y la de y bueno y además tiene un cero que no nos importa así que para simplificar esto qué tal si multiplicamos además esto de aquí por x menos uno porque que es lo que nos queda esto simplemente nos quedaría nos quedaría x a la 24 menos uno que es este polinomio amarillo entre x menos 1 todo esto verde es lo mismo que este polinomio amarillo que fue lo que obtuvimos aquí en este en este procedimiento y que de hecho este procedimiento lo pueden revisar en los vídeos de series geométricas y además estamos multiplicando por x menos 1 entonces esto será igual a x a la 24 21 ahora por supuesto uno es raíz de este polinomio pero en realidad sólo hay que quitar el 1 porque porque aquí multiplicamos por x 1 pero eso no estaba incluido en nuestro polinomio pd x así que como la raíz de x menos uno es uno simplemente hay que quitar la raíz uno de aquí muy bien entonces vamos a considerar las raíces de este polinomio que es terriblemente más sencillo que el que empezamos con esa serie muy rara con esta perdón esa suma muy rara ahora sólo tenemos que calcular las raíces de este polinomio y entonces para calcularlo simplemente igualamos a cero y quitamos las raíces que sean iguales a 1 entonces esto nos dice que x a la 24 debe ser 1 sumando uno de ambos lados y esto y esto es muy sencillo porque porque lo que podemos hacer es utilizar lo que conocemos de de variable compleja por ejemplo para para poder determinar quiénes son las raíces de éste de este de esta las raíces las 23 raíces distintas de 1 ok entonces tenemos uno es igual a y al elevado a la cero y cero podemos pensar como elevado a la cero pero realmente esto es lo mismo que si sumamos múltiplos de dos pie entonces esto es igualado perdón ea lados pi y esto es igual a la 4 y esto también será igual que si sumamos otros dos pi a la 6 y si sumamos otra vez dos pies será perdón es aquí es que a la 8 y entonces yo creo que ya ya entendiste cuál es el punto pero si nosotros queremos calcular la equis simplemente hay que sacar raíz 24ava por lo que es lo mismo dividir entre 24 el exponente en todos estos que tenemos aquí muy bien y eso nos va a dar las distintas raíces de uno ok por supuesto estamos pensando en raíces complejas por ejemplo qué tal si consideramos bueno esta de aquí es al acero que es 1 pero si tomamos esta de aquí tendremos voy a hacerlo un poquito más abajo tendremos el lápiz y y simplificamos 2 entre 24 es doceavos verdad es uno entre 12 entonces hay que acordarnos de la fórmula la fórmula de hoy leer que nos dice que esto es lo mismo que coseno de pi entre 12 más y veces el seno de pi entre 12 muy bien y ahora vamos a graficar los para ver de qué no se está hablando esta expresión en esta expresión vamos a graficar lo ahí tienen ustedes su plano complejo este es el eje de la parte real este es el eje imaginario y digamos que por aquí está el 1 entonces nuestra primera raíz es coseno de pido seamos más y seno de pi doceavos entonces esto es lo mismo que si nos fijamos digamos en el círculo unitario y sobre el círculo unitario aquel punto del plano complejo con un ángulo de pie entre 12 pero pie entre 12 que estos son radiales los puedes pensar como 15 grados verdad 15 grados ahora quién sería el siguiente el siguiente sería a la 4 y entre 24 que esto es lo mismo que a al lápiz y entre 6 y al lápiz sextos y pero pi sextos son 30 grados aquí tendríamos el siguiente digamos algo así el que le sigue sería a las 6 p / 24 pues simplificamos dividimos arriba y abajo entre 6 y nos queda el lápiz sobre 4 que son pi cuartos entonces aquí ya tenemos y cuartos muy bien y así es como podemos obtener las 23 raíces distintas de uno de la unidad de uno muy bien entonces simplemente si te das cuenta lo que estamos haciendo en cada ocasión es agregar 15 grados quizás debería ser para debería pintar lo mejor en otro plano para para no encimarse todo ahí todos esos los podemos encontrar en el círculo unitario sí aquí está por ejemplo nuestro oops parece más un óvalo que más o menos ahí está nuestro círculo unitario ok ahí va más o menos ahí está el círculo unitario entonces tenemos que encontrar 23 raíces bueno hasta el 1 por supuesto pero además tenemos que encontrar 23 raíces entonces aquí está la primera que es y entre 12 aquí está bien 3 pípi tercios y cuartos aquí seguiría 112 si aquí va cuartos aquí seguiría pit tercios y tercios aquí se encuentra alguna la otra hasta que llegamos a pi medios muy bien entonces estamos por empezar a utilizar un concepto distinto para resolver el problema y me estoy pasando del tiempo así que mejor seguiremos en el próximo vídeo