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AIME II del 2003. Problema 15 (parte 3)

Transcripción del video

donde nos quedamos en el último vídeo intentábamos descubrir cuáles eran las 24 raíces de uno para que al elevar las al cuadrado tomemos el valor absoluto de su parte imaginaria y luego lo sumamos y eso era esencialmente lo que teníamos que verificar y para lograr eso pues vamos a dibujar esas raíces entonces la primera de ellas es es el lápiz bueno es esencialmente es el lápiz y entre 12 entonces tomamos un ángulo de pi doceavos que son 15 grados aquí tenemos pi doceavos muy bien el siguiente es ala 4 p / 24 que era la y sextos a lápiz sextos y aquí está y sextos aquí está pi cuartos cuartos es otra de las raíces este será éste era a mi tercio es claro y tercios que es 8 entre 24 aquí está este no se podía simplificar éste simplemente de 5 pi doceavos y bueno antes de continuar lo que tenemos que ver es bueno recordemos de aquí del enunciado es que queremos sumar el valor absoluto de la parte imaginaria del cuadrado de nuestras raíces verdad entonces si retomamos eso cuál sería el cuadrado de un número complejo para para ir para ir aterrizando ideas tenemos un número complejo de la forma más b i y si lo elevamos al cuadrado esto es cuadrada más 2 ave y menos b cuadrada muy bien su parte real sería cuadrada menos b cuadrada más 2 ave que es su parte imaginaria por y entonces si después de eso nosotros queremos en las raíces elevarlas al cuadrado digamos estas son son las raíces verdad estos puntos y además ahora tomamos la parte imaginaria que es 2a b 2a por b y luego le tomamos el valor absoluto entonces si tomamos el valor absoluto por ejemplo si aquí tienen ustedes son además b y digamos éstos son además b y los que se encuentren acá son de la forma a menos b y los que estén por acá son de la forma menos a menos b y estos son de la forma menos a más b y entonces realmente no importa como como donde los tomemos porque al final vamos a multiplicar los y tomar el valor absoluto entonces simplemente basta ver qué pasa con estos y después multiplicar por 4 verdad porque todos los demás están distribuidos de la misma forma en los otros desde el círculo unitario lo único que nos faltaría ver es bueno por supuesto eliminamos a uno porque dijimos que uno no lo queríamos y consideramos ahora bien qué pasa con pi medios pero pi medios pi medios aquí tiene su parte real y al api medios por y es verdad simplemente no puede verificarlo desde la fórmula de hoy leer pero como su parte real es cero entonces al elevarlo al cuadrado y tomar la parte imaginaria habría que multiplicar por ese cero y no contribuye en nada a la suma así que lo podemos omitir y simplemente lo podemos omitir ahora también veremos que menos 1 es una raíz verdad pero menos 1 elevado al cuadrado es 1 y su parte imaginaria es 0 entonces tampoco contribuye nada y tampoco este de aquí que sería menos y medios así que sólo basta con estos 4 calcular el cuadrado de ellos luego su parte imaginaria luego su valor absoluto luego los sumamos y luego lo multiplicamos por cuatro y tendremos ya casi la respuesta muy bien entonces vamos a empezar lo vamos a empezar lo tenemos a la pido o sea vos tenemos a lápiz sextos y tenemos a lápiz y cuartos y cuartos y el ala peter cios y y finalmente a las 5 p sex en cinco pisos ya 2 perdón 5 12 a vos y si los dos anoté todos bien verdad luego estos hay que elevar los al cuadrado hay que elevar los al cuadrado y por eso es tan útil utilizar esta anotación de exponenciales porque elevan al elevado al cuadrado simplemente es multiplicar por dos los exponentes entonces que nos queda al api sextos y halabí tercios y ala y medios y ella la pues aquí sólo nos queda a las dos tercios y y a las cinco y sextos y muy bien entonces pues sólo nos queda calcular quienes son quienes la parte imaginaria de éstos de estos números así que vamos a verlo es más él es mucho más fácil verlo en el círculo unitario voy a hacer uno más un último círculo unitario ahí lo tienen así que quién sería pi sexto es el ángulo pi sextos es son 30 grados verdad entonces aquí tenemos 30 grados sabemos que aquí tiene bueno esto el radio es un honor y la altura es un medio entonces aquí en realidad estoy calculando eso porque es la parte imaginaria de esto por la fórmula de hoy leer es el seno de pi sextos en este caso sería el seno de pi tercios seno de pi medios y el seno de dos tercios y finalmente el seno de cinco pi sexto es muy bien simplemente de la fórmula de hoy leer verdad esto es ccoo senodep y sextos más veces seno de pi sextos la parte imaginaria es seno de pi sextos por eso es que calculó la altura que es el seno de este ángulo muy bien entonces el seno de pi sextos es un medio aquí tenemos un medio cuánto es petersen grados estos son 30 grados 30 perdón 60 grados entonces más o menos es algo así y su altura pues es raíz de 3 entre 2 tú dirás bueno como lo obtuviste pues simplemente utilizando el teorema de pitágoras porque esto vale 1 se puede ver que aquí vale un medio y pues en la altura corresponde utilizando el teorema de pitágoras a uno menos un cuarto y le sacamos raíz cuadrada ok digo eso si no puedes hacer simplemente el análisis de los triángulos 30 a 60 90 senodep y medios es es muy fácil porque eso es la altura es uno seno de dos tercios quienes dos tercios tenemos dos tercios son dos tercios bueno peter si son 60 grados así que dos tercios son 120 grados eso más o menos está por aquí de hecho ésta está a la misma altura que cuando tenemos 60 grados verdad 60 grados entonces es la misma altura y por lo tanto corresponde a raíz de 3 entre 2 ahora seno de pi sextos eso también está a la misma altura pero ahora de cuando tenemos 30 grados o lo que de este lado y la altura es un medio un medio así que ahora nos toca sumarlos bueno a ver tenemos un medio y un medio eso nos da uno más uno nos da dos y luego tenemos dos veces la raíz de tres entre dos así que nos queda dos más la raíz de tres y ya casi pero recordemos que esto debe pasar cuatro veces verdad uno por cada uno de estos sectores así que si ahora multiplicamos por cuatro esto nos da simplemente cuatro perdón cuatro por dos son ocho más cuatro raíz de tres muy bien y esto se parece mucho pero mucho a lo que tenemos ya aquí verdad nos dice que esta suma es m más en el raíz de p que nuestro caso era 8 4 raíz de 3 y en efecto el 3 ya no se puede simplificar verdad con esta raíz así que ya tenemos quienes m quienes n y quien es p ya podemos empezar a tocar el redoble porque ya tenemos la respuesta nosotros queremos calcular n n&p que en nuestro caso sería 8 438 más 4 son 12 y 3 son 15 después de tres vídeos pudimos encontrar que nuestra respuesta es 15 un aplauso para todos