AIME II del 2003. Problema 3

definimos a una buena palabra como la secuencia de letras que consiste sólo en las letras a b y c y algunas de estas letras puede que no aparezcan en la secuencia y además que la letra nunca esté inmediatamente después de la letra b la letra b nunca está inmediatamente después de la letra sen y la letra c nunca esté inmediatamente después de la letra la pregunta es cuántas buenas palabras de siete letras hay y bueno aquí quiero mencionarte algo lo más importante de este problema es el tener esta oración la letra a nunca esté inmediatamente después de la letra bien es decir que tenemos una letra be para que sea una buena palabra solamente le puede seguir una misma letra benz o una letra c la otra oración dice la letra vez nunca está inmediatamente después de las letras m es decir que si tenemos una c solamente le puede seguir la letra c o la letra i por último dice la letra c nunca está inmediatamente después de la letra esto quiere decir lo mismo que si tenemos la letra solamente puede seguir la letra a mis bang o en dado caso a una letra be y entonces nos preguntan cuántas buenas palabras de citas letras hay así que déjenme poner aquí siete lugares para ver cuántas de estas buenas palabras puedo encontrar ahora bien todo lo importante es fijarnos en esta primera letra esta primera letra no tiene restricciones tienen tres posibilidades o ser a o b o c por lo tanto ésta tiene tres posibilidades sin embargo la siguiente ya empieza a estar restringida porque fíjate bien si yo tengo que aquí tengo una letra am entonces no le puedes seguir una letra c porque estamos buscando solamente las buenas palabras entonces solamente nos quedaría o que fuera ao que fuera bien si por ejemplo empezáramos con un ave no le podría seguir una letra solamente podría seguir una letra b o una letra c y de igual manera si empezáramos con la letra c en este lugar solamente tenemos de dos opciones sea cual sea la letra con la que empecemos en este lugar solamente dos opciones y bueno ahora que nos fijamos en este lugar sea cual sea la letra que pongamos aquí solamente vamos a tener otras dos opciones te das cuenta si en este lugar en nuestro segundo lugar ponemos una letra b pues de aquí adelante para qué buena palabra solamente de dos o ponemos una vez o ponemos una celda entonces la idea es análoga y para este cuarto lugar lo mismo y para el quinto lo mismo y para el sexto lo mismo y para el séptimo lo mismo por lo tanto ya no hay de otra todas las buenas palabras con siete letras pues son la cantidad de palabras que me resultan multiplicar 3 por 2 por 2 por 2 por 2 por 2 por 2 es decir 3 por 2 a la sexta y 2 a la sexta es lo mismo que 2 por 2 4 por 2 8 por 2 16 por 2 32 por 2 64 3 por 64 lo cual por cierto es 180 más 12 lo cual es 192 solamente hay 192 buenas palabras con siete letras tomándonos la definición de buenas palabras que tenemos aquí arriba