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Contenido principal
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Transcripción del video

en un tetraedro regular los centros de sus cuatro caras son los vértices de un tetraedro más pequeño la proporción entre el volumen del tetraedro pequeño al más grande es m / n donde m y n son primos relativos y enteros positivos nos piden calcular m más en entonces primero vamos a tratar de entender qué es lo que nos está diciendo este problema primero nos dicen tenemos un tetraedro regular muy bien entonces un tetraedro primero la pregunta es que es un tetra hidro verdad y un tetraedro es un es un poliedro que tiene cuatro caras y todas son iguales verdad tiene cuatro caras y esas son iguales y de hecho son triángulos aunque quizás debo hacerlo distinto voy a hacerlo así aquí tienen ustedes una cara una cara de nuestro tetraedro ahí está aquí vamos a tener otra cara del tetraedro que es también un triángulo y por atrás se ve la otra cara y por supuesto la base es otra cara de nuestro tetraedro muy bien dice en un bebé en este de traer o regular los centros de sus cuatro caras son los vértices de un tetra edro más pequeño entonces ponemos que los centros los centros vértices de un teatro más pequeño digamos algo así entonces lo que tenemos que hacer es unir estos unir estos y ahí tendríamos nuestro tetraedro más pequeño que de hecho está adentro de este tetraedro amarillo verdad aquí sólo vemos dos pero si nosotros pintamos digamos espero que distingan muy bien con líneas punteadas que atrás se ven otras dos caras verdad entonces bueno esta es la idea del problema lo que nos sigue o lo que sigue el problema dice la proporción entre el volumen del tetraedro pequeño al más grande es m entre n y tú ya te estarás preguntando oye pero en principio cómo puedo yo calcular el volumen de un tetraedro y lo que tenemos que hacer es bueno pensar en lo siguiente si yo tengo dos figuras similares esto quiere decir que la proporción entre todas entre todos sus lados de una dimensión digamos ok entonces si esa proporción es igual en todos lados lo que podemos garantizar es que la proporción entre los volúmenes es igual a la proporción de las dimensiones de una o más bien de las longitud digamos de una dimensión elevados al cubo que es lo que estoy diciendo déjenme escribirlo lo que tengo es que si a este lado digamos a este de aquí que estoy pintando en azul le voy a llamar lado grande ok porque es el tetraedro más grande ya este lado de aquí digamos le voy a llamar lado lado pequeño lado pequeño ok por justamente porque es el el lado del tetraedro más pequeño entonces si yo considero el la proporción entre el lado grande sobre lo bueno y el lado grande entre el lado pequeño y lo quiero relacionar de alguna forma con el volumen grande entre el volumen pequeño el volumen pequeño me dice que esta proporción va a ser igual a esta pero elevado al cubo piensa que que cada una de las de las dimensiones contribuye en como un factor digamos de esta proporción ok entonces lo que tenemos que encontrar es la proporción entre el lado grande y el lado pequeño y aquí es en donde uno se va a poner más o menos abstracto y ahí vamos a trazar ejes ejes para hacerlo esto en términos de geometría analítica no que es una de las ideas más maravillosas que ha surgido en las matemáticas entonces digamos que aquí tenemos un eje este va a ser nuestro eje y lo estamos viendo en perspectiva porque estamos en el espacio estamos en tres dimensiones ok y aquí vamos a poner nuestro g x un muy buen dibujo ahí está el eje x muy bien y entonces lo que vamos a hacer es colocar los vértices de este triángulo en en este plano xy de hecho está este es el eje x y los vértices los voy a colocar en este plano por supuesto aquí me faltaría dibujar el eje z pero por el momento con esto basta entonces este vértice de aquí lo voy a colocar digamos aquí muy bien este vértice del fondo lo voy a colocar digamos acá muy bien y este vértice de aquí lo voy a colocar más o menos a la misma distancia aquí está digamos allí están colocados estos tres vértices y si yo los uno si yo los uno me da la base de nuestro tetraedro ahí está ok quizás esa línea no me gustó vamos a quitarla ahí está esta es nuestra base del tetraedro digamos es todo esto muy bien y eso es lo que representa está este triángulo vamos a quitar esos rayones ahora ya que tenemos esta base lo que tenemos que encontrar primero es el centro también bueno hay hay muchas cosas que discutir alrededor de este triángulo donde están colocados los vértices y pensemos que realmente solo quiero hablar de las proporciones así que si puedo suponer que este vértice como está en el eje x está en el 100 y esto lo puedo hacer porque solo voy a hablar de proporciones muy bien este de acá debe estar a la misma distancia del 0 que este otro vértice así que va a estar en menos 100 muy bien y la pregunta es en qué coordenada está el que qué coordenadas tiene este este vértice y bueno no tenemos que aquí hay una distancia de 1 verdad acá también quiere decir que toda la base mide 2 y ahora como este triángulo es equilátero verdad todos los triángulos son equiláteros de este tetraedro por supuesto entonces esta base mide 2 y este lado va a tener que medir 2 muy bien entonces las coordenadas de este de este vértice pues simplemente se reducen a lo siguiente primero en su coordenada x pues se encuentra en 0 y como no como estamos sobre el plano xy tenemos una coordenada 0 en z lo que nos falta es encontrar es esta distancia esta distancia de aquí nos va a dar su coordenada y que esencialmente es la altura de este triángulo y para poder hacerlo tenemos que recordar que aquí tenemos un ángulo de 90 grados o de pi medio si lo quieres ver en radiales entonces puedes sacar ahorita mismo todas tus herramientas de los triángulos de tipo 30 60 90 porque este es 90 este de aquí mide 60 y este de acá arriba mide 30 30 grados entonces puedes sacar todas esas herramientas o de plano mejor vámonos directo a utilizar el teorema de pitágoras y es que tenemos aquí dos catetos y la hipotenusa entonces uno si digamos si esto es entonces de cuadrada más esta base este cateto al cuadrado que es uno debe ser igual a la hipotenusa al cuadrado que es 4 entonces ya cuadrada si restamos uno de ambos lados nos da tres y por lo tanto es igual a la raíz cuadrada de tres muy bien entonces ahí lo tienen podemos podemos con esto concluir que la altura digamos bueno la coordenada ye de este vértice es la raíz de tres y esto va todo muy bien porque ahora necesitamos encontrar quién es el centro el centro de este triángulo verdad por ejemplo vamos a pintarlo como por aquí como por aquí ok entonces el centro de este triángulo tenemos que encontrarlo y como encontramos el centro de este triángulo pues tenemos que promediar las los tres vértices promediar todas las coordenadas verdad entonces vamos a hacer esto vamos a hacerlo y tenemos menos uno bueno voy a sumar todas las coordenadas x primero y tengo menos 1 más 1 nos da 0 + 0 nos vuelve a dar 0 entonces entre 3 esto nos queda simplemente qué bien no estoy quitando cosas de más aunque déjenme déjenme simplemente borrar esto de aquí y entonces dijimos que nuestra primera coordenada de este de este punto era cero verdad simplemente menos 11 000 y entre 3 nos da 0 ahora promediamos las coordenadas z para que vean que es muy fácil o bueno vámonos con las yes es 0 + raíz de 3 +0 es raíz de 3 y entre 3 es raíz de tres entre 3 y finalmente las últimas que son 0 0 y 0 pues el promedio será 0 y ahí tenemos la coordenada de este vértice de aquí del tetraedro pequeño muy bien ahora vamos a encontrar quién es y vamos a extendernos a tres dimensiones muy bien queremos encontrar ahora las coordenadas de este vértice superior del tetraedro muy bien entonces eso sí si te das cuenta estos dos vértices coinciden en el mismo lugar simplemente el verde este de aquí está más arriba entonces vamos a pintar lo más arriba algo así digamos que por aquí anda el vértice por aquí anda el vértice y bueno lo que estaría yo pintando digamos de esta forma sí sí aquí conectamos estos dos lo más derechito si conectamos estos dos y luego conectó estos dos con esto estos dos entonces estaría yo dibujando esta cara de aquí esta cara de aquí es la que acabo de dibujar muy bien y bueno podría incluso incluso puedo dibujar todo el tetra hidro verdad se ve así muy bien entonces la pregunta que nos queda es cuáles son las coordenadas de este y pensemos que como en la coordenada xy bueno es esencialmente son el mismo vértice excepto que éste está más elevado entonces sus coordenadas coinciden con los de este menos en la coordenada zeta esto es 0 raíz de 3 entre 3 y hay que determinar cuál es su altura como voy a hacer esto pues eso es muy fácil mira conectamos estos dos vértices conectamos estos dos vértices y lo que hemos obtenido es nuevamente un triángulo rectángulo el que conecta este vértice verde este morado y este amarillo de aquí muy bien tenemos un triángulo rectángulo y nuevamente podemos utilizar teorema de pitágoras verdad vamos a llamarle a ésta a esta altura pues h muy bien y entonces qué es lo que tenemos que h cuadrada más esta distancia que de hecho es la coordenada de este vértice al cuadrado tenemos perdón h cuadrada más esta distancia al cuadrado que es raíz de 3 entre 3 nos debe dar esta distancia al cuadrado pero cuál es esta distancia bueno pues son son triángulos son triángulos iguales verdad entonces esta cara de aquí debe ser igual a la base así que esta distancia en azul es la misma que esta distancia verde y que es raíz de 3 entonces déjenme ponerlo aquí esto es la raíz de 3 muy bien entonces si anotamos todo eso en el teorema de pitágoras tenemos que h cuadrada más la raíz de 3 entre 3 al cuadrado pues eso es 3 novenos verdad y eso me debe dar esta distancia azul al cuadrado que es 3 si restamos 3 novenos de ambos lados nos queda h cuadrada igual a 3 - 3 novenos que es un tercio muy bien y tres enteros son 99 tercio es verdad y yo a nueve tercios le restó un tercio de esto simplemente nos da ocho tercios entonces por supuesto h no es ocho tercios así que h h tiene que ser la raíz cuadrada de ocho tercios ok que es la raíz de tres y la raíz cuadrada de 88 es dos por cuatro entonces es la raíz de dos por la raíz de cuatro que es 22 veces la raíz perdón no de tres de dos esta es nuestra altura así que la altura es dos veces la raíz de dos sobre la raíz de tres muy bien entonces esto está fantástico porque ahora ya podemos ya podemos calcular cuál es el centro que se encuentra en esta cara en esta cara digamos que vemos de frente y con eso tendremos esta digamos y este vértice de aquí que estoy remarcando y como ya tenemos este de acá abajo entonces podemos calcular la distancia verdad que era justo lo que queríamos calcular y ya que tenemos esa distancia ahora relacionamos con la proporción entre los lados y así poder concluir algo también de la proporción entre los volúmenes así que nos vemos en el próximo vídeo