AIME II del 2003. Problema 4 (parte 2)

en lo último que nos quedamos estábamos calculando las coordenadas de los vértices de este teatro y pudimos lograrlo este era el menos 100 el 100 el 0 raíz de 30 y el de arriba era el 0-3 entre 32 raíz de dos entre raíz de tres y además pudimos calcular donde estaba el centro de la base verdad y estaba justamente aquí tiene estas coordenadas ahora lo único que nos falta es encontrar el centro de esta cara que más o menos digamos estará ahí para poder calcular esta distancia que aquí tenemos marcada en rosa verdad que correspondería justamente a esta distancia una vez que tenemos eso podemos hacer la proporción con el lado grande y al elevarlo al cubo nos da la proporción que hay entre los dos volúmenes de los dos tetraedros así que vamos vamos a encontrarlo si puedes darte cuenta en este punto se encuentra sobre el plano de zeta de hecho déjame pintar aquí el eje zeta digamos aquí está el eje z aunque quizás lo va a poner punteado para que no se confunda con él con él con el tetraedro ahí lo tienen este es el eje z y este y este punto se encuentra sobre el plano que se está el generado por estos dos ejes entonces vamos a calcularlo de hecho lo podemos ver ahí mismo simplemente tenemos que hacer el promedio de estos tres vértices así que la primera coordenada la primera coordenada vamos digamos vámonos para acá vamos este lo voy a lo voy a calcular por acá que la primera coordenada como es es menos uno más menos uno más uno más cero entre tres verdad estoy promediando las tres coordenadas x luego voy a promediar las coordenadas yes que es cero 0 + raíz de 3 entre 3 y todo esto entre 3 y finalmente vamos con las coordenadas z 000 + 0 + 2 raíz de 22 raíz de 2 entre la raíz de 3 y todo esto entre 3 muy bien ahí están las coordenadas de este punto simplemente vamos a vamos a tratar de simplificar esto esto aquí tenemos menos uno más uno es 0 +0 es cero y entre 3 sigue siendo 0 y ahí está verdad no tenemos coordenada x por lo tanto está en el plano de zeta ahora bien cuánto es 00 más raíz de 3 entre 3 pues sólo es raíz de 3 entre 3 y si dividimos entre 3 tenemos raíz de 3 entre 9 muy bien y ahora tenemos 0 + 0 +2 raíz de 2 / raíz de 3 simplemente es 2 raíz de 2 / raíz de 3 y si dividimos entre 3 nos queda 2 raíz de 2 entre 3 raíz de 3 ahí tienen ustedes las coordenadas de este punto que es uno de los vértices que nos van a servir para calcular esta longitud del tetraedro pequeño ahora vamos a calcular la verdad como calculamos la longitud al cuadrado esencialmente ya sabemos que es como extender la idea del teorema de pitágoras y entonces tenemos que el lado pequeño al cuadrado va a ser igual a quien a la diferencia de las coordenadas de nuestros puntos que va a ser este que acabamos de obtener y el centro de la base que entonces en las coordenadas x restamos 0 -0 verdad entonces 0 - 0 y elevamos al cuadrado sumamos la diferencia de las coordenadas yes que es raíz de 3 entre 3 raíz de 3 entre 3 menos la raíz de 3 entre 9 y este déjenme ponerlo como mejor como 3 raíz de 3 entre 9 muy bien 3 raíz de 3 entre 9 menos aquí tenemos raíz de 3 entre 9 y lo anterior lo hice solo para que tengamos el mismo denominador muy bien y también voy a sumar la diferencia de las coordenadas z que es 0 y 2 raíz de 2 entre 3 raíz de 3 aquí tendremos 2 raíz de 2 entre 3 raíz de 3 pero al cuadrado muy bien esta es la longitud al cuadrado vamos a ver qué es eso entonces la longitud pequeña al cuadrado será igual por un lado bueno esto de aquí se hace cero verdad 0 - 0 al cuadrado es cero ahora quién es esto aquí tenemos tres raíz de 3 entre 9 menos raíz de 3 entre 9 entonces en realidad tenemos 2 raíz de 3 entre 9 2 raíz de 3 entre 9 déjenme anotarlo aquí esto es 2 raíz de 3 entre 9 y eso hay que elevarlo al cuadrado entonces tenemos 4 por 3 entre 9 al cuadrado que es 81 muy bien ok y vámonos con la última parte esto de aquí vamos a sumar 2 raíz de 2 entre 3 raíz de 3 - 0 sigue siendo el mismo y al elevarlo al cuadrado nos queda 4 por 2 entre 9 por 3 muy bien entre 9 por 3 y ya simplemente tenemos que hacer esta operación esto de aquí aquí podemos por ejemplo cancelar un 3 y aquí nos queda 27 muy bien y entonces tenemos 4 entre 27 más 8 entre 27 y como tenemos mismo denominador podemos simplemente sumar y son 12 sobre 27 y esto simplemente si dividimos entre 3 arriba y abajo nos queda 4 entre 9 pero esto es la longitud pequeña al cuadrado así que lo que tenemos es que la longitud la longitud pequeña pequeña así pequeña debe ser la raíz cuadrada de esto y la raíz de 4 entre 9 2 sobre 3 muy bien entonces ya estamos muy cerca de terminar el problema porque la longitud pequeña es dos tercios y la longitud grande cuánto es era dos era dos verdad la longitud grande era este lado que mide dos entonces a esto al resolverlo lo podemos elevar al cubo pero por ejemplo aquí todavía podemos simplificar verdad esto se puede hacer un 1 si cancelamos entre 2 o si dividimos arriba y abajo entre 2 y simplemente nos queda 1 entre un tercio y 1 entre un tercio es 3 esto es 3 verdad entonces esto simplemente nos va a quedar como esto simplemente va a ser 27 al cubo 27 entre 1 al que no ya ya de al cubo ya lo efectuamos verdad aquí es uno entre un tercio nos queda 3 y al cubo es 27 que lo podemos ver como 27 entre 1 pero dijimos que la proporción entre estos es m / n así que esto es m / n muy bien y 27 y 1 ya son primos relativos así que si nos tomamos a m como 27 tiene como 1 ya tenemos eso ya tenemos eso y simplemente tenemos que m n serán 27 más 1 que son 20 8 y ahí está la respuesta a este problema