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Contenido principal
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Transcripción del video

un tronco con forma de cilindro tiene un diámetro de 2 pulgadas y este va a ser una información importante se corta una porción del tronco al hacer dos cortes planos que atraviesan completamente el tronco el primero es perpendicular al eje del cilindro y el plano del segundo forma un ángulo de 45 grados con el plano del del primer corte la intersección de los dos cortes tiene exactamente un punto el número de pulgadas cúbicas en la porción del tronco puede expresarse como n pi donde n es un entero positivo encuentra el valor de n entonces primero que nada para tratar de resolver este problema hay que dibujar de qué estamos hablando entonces tenemos un tronco con forma de cilindro y que tiene un diámetro de 12 pulgadas entonces vamos a dibujar nuestro tronco aquí está la base de nuestro tronco muy bien y este tronco se extiende en esta dirección porque es un cilindro este es un cilindro y es nuestro tronco muy bien ahí tienen ustedes este tronco y nos dice además que vamos a cortar una porción del tronco al hacer dos cortes planos que atraviesan completamente el tronco muy bien dice el primero es perpendicular al eje del cilindro entonces si aquí tienen el eje digamos es digamos es esta línea que va por todo el centro del cilindro tenemos que cortarlo de forma perpendicular verdad si tenemos aquí el eje ahí está digamos el eje entonces nosotros cortamos de esta forma de tal suerte que aquí en la intersección hay un ángulo de 90 grados entonces lo que tenemos es simplemente cortar y tenemos justo este tipo de cortes justo un corte transversal verdad ahí tienen ustedes el corte transversal a lo largo de éste más bien bueno que justamente estamos cortando este este cilindro nuestro tronco verdad y eso fue hacer el primero de ellos verdad el primero es el primero es perpendicular al eje del cilindro y el plano del segundo forma un ángulo de 45 grados con el con el plano del primer corte entonces digamos tenemos aquí aquí vamos a hacer el corte y más o menos vamos a hacer un corte de este estilo que por supuesto aquí ya digamos el corte no se ve circular sino más bien es como elíptico muy bien y ahí tienen ustedes su corte muy bien cuál es la luz lo importante que se forma un ángulo de 45 grados aquí muy bien 45 grados y este fue nuestro segundo corte y esta es la porción que estamos obteniendo del tronco muy bien dice la intersección de los dos tiene exactamente un punto que es este que estoy marcando aquí y el número de pulgadas cúbicas en la porción de este tronco estamos pensando en esta porción delimitada por estos dos dos cortes puede expresarse como n pi donde en es un entero positivo hay que hallar quien es n muy bien entonces déjenme hacer este mismo dibujo recrearlo de este lado digamos está esta cara de aquí o esta base de la porción la voy a poner acá ahí está más o menos más o menos o que quizás debería repetirlo un poco y ésta esa es nuestra base digamos de la porción que en perspectiva pues parece elíptico verdad aunque ese si es ese si es circular muy bien entonces tenemos nuestra base y después recreamos este corte esencialmente lo que hay que dibujar es esta altura esta altura ahí está la altura y a partir de aquí con este punto vamos a conectarlos y conectarlos más o menos así no es así muy bien quedó muy bien el dibujo y entonces solo para para darle bien la profundidad vamos a hacerle digamos como si fuera esto punteado verdad que se ve por atrás ahí lo tienen entonces este es nuestro pedazo que obtenemos y la hipótesis fundamental es que aquí en este punto donde se hace el corte digamos si tenemos si tuviéramos este este diámetro y voy a pintarlo así bueno esta esta línea aquí justo esta línea con la base se hace un ángulo de 45 grados muy bien y ahí lo tienen entonces la la primera vez que yo vi el problema pensé no usar cálculo verdad tenemos que calcular un volumen pues hay que a lo mejor encontrar algo que rota o que se yo pero en realidad y este tipo de problemas están diseñados para que no tengas que hacer cuentas tan tan espeluznantes sino simplemente tienes que tener una idea muy buena y un truco que te ayude a resolverlo de forma fácil y en realidad este es uno de esos ejercicios porque tiene una idea muy muy muy sencilla y si y cuando te des cuenta vas a ver que es muy muy fácil de entender y el truco es considerar no sólo esto sino considerar otra porción encima ok bueno quizás eso está muy chueco pero si consideramos otra porción aquí encima aquí si nosotros consideramos otra porción que es lo que hemos obtenido muy bien y por supuesto esto también es exactamente la misma porción pero encima de la que ya teníamos esto correspondería a haber hecho un corte aquí tener un corte aquí verdad y ahora considerarnos todo esto completito y lo que obtuvimos es justamente un cilindro un cilindro completito entonces es más fácil calcular el volumen de este cilindro y después tendremos que dividir entre dos verdad porque son dos pedacitos iguales entonces sólo nos interesa uno y de hecho sabemos que este cilindro tiene esta base que es circular y esto mide dos de verdad porque es exactamente igual que el de abajo y sabemos que el cilindro tiene un diámetro de 12 pulgadas muy bien entonces con esta información ya podemos empezar a calcular todo lo que necesitamos porque para saber el volumen de un cilindro necesitamos el área de la base por la altura entonces si ésta es nuestra altura nos falta encontrar quien es la altura y el y aquí es en donde entra fuertemente que estamos trabajando con un trío con un perdón con un cilindro donde hacemos el corte de 45° porque fíjate muy bien en este triángulo que voy es esta diagonal que atraviesa la porción y luego nos vamos con esta altura y luego conectamos estos dos puntos muy bien entonces aquí tenemos un triángulo rectángulo un triángulo rectángulo pero que además este ángulo es de 45 grados déjamelo dibujo por ejemplo aquí más bonito aquí tenemos nuestro triángulo que acabo de trazar este ángulo es de 90 grados este es de 45 grados y a éste le resta hacer también un ángulo de 45 grados muy bien entonces qué es lo que tenemos este esta altura es h que es lo que queremos encontrar no sabemos cuánto mide esta hipotenusa o esta diagonal pero lo que sí sabemos es cuánto mide este diámetro verdad y eso mide 12 entonces si nos damos cuenta este lado es igual a este lado porque es un triángulo isósceles entonces lo que podemos concluir de aquí es que nuestra altura es justamente h h es exactamente 12 muy bien y con la altura ya podemos calcular el volumen de todo este cilindro cuánto y cuánto es bueno sabemos que el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura cuánto cuánto mide bueno cuánto mide de área la base pues necesitamos bueno como es un círculo el área es pipo radio al cuadrado donde el radio aquí vale 6 entonces 6 x 6 636 y entonces tenemos 36 y muy bien pi por radio al cuadrado y luego multiplicamos por la altura que es 12 por 12 muy bien entonces ya para ir concluyendo el volumen de todo el cilindro y le pongo 2 porque son dos pedazos es igual a 12 por 36 por pi no quiero cometer un error vamos a hacer esto 36 por 12 2 por 36 son 72 1 por 36 son 36 y sumamos 27 y 6 son 13 llevan 13 y 14 entonces tenemos 432 y muy bien pero hay que tener muchísimo cuidado porque uno pensaría que ya tenemos la respuesta y no es así esto es el volumen y le puse aquí el 2 justamente por eso porque son dos pedazos si yo quiero conocer el volumen de sólo un pedazo hay que dividir a la mitad y la mitad de 432 son 216 pi y como nos preguntan nos dicen el volumen se puede expresar como n p entonces hay que dar quienes n pues aquí está n iv n vale 216