AIME II del 2003. Problema 8

encuentra el octavo término de la siguiente sucesión 1440 mil 716 mil 848 etcétera cuyos términos se forman multiplicando los correspondientes términos de dos sucesiones aritméticas y bueno lo primero que vamos a hacer es pensar en estas asociaciones aritméticas que nos dice esta segunda oración queremos dos sucesiones aritméticas que están multiplicando en sus correspondientes términos y esas sucesiones aritméticas me dan la sucesión que tengo aquí arriba así que vamos a suponer que la primera solución aritmética es ésta empezamos en am después pues como es una sucesión aritmética le sumamos una razón entonces a am le agregamos una razón porque es una asociación aritmética y después para llegar al siguiente término hay que volverle a agregar otra razón entonces me quedaría a más 12 m y después a más 13 m a más 4 m y así hasta llegar al término 8 que por cierto sería muy bueno sacarlo de una vez porque precisamente eso es lo que nos pregunta este problema la multiplicación del octavo término de mis dos sesiones aritméticas así que bueno que el segundo término le sumamos una m al tercer término le sumamos 12 m entonces al octavo término le vamos a sumar solamente 7 m bueno esta es mi primera sucesión aritmética y ahora me voy a fijar en segunda sugestión aritmética porque son 2 y mi segunda sucesión aritmética voy a suponer que empieza en ver y después le sumamos una razón no forzosamente tiene que ser la misma por eso le voy a poner n b n después vemos 12 nm y así no seguimos hasta llegar al octavo término de esta sucesión aritmética que por cierto es el término b 7 n esto lo sabemos porque siempre aumentamos una n menos una razón menos del término que tenemos y bueno ya aquí tenemos a mis dos sucesiones aritméticas y qué voy a hacer con ellas multiplicar las porque cuando yo multiplico la primera sucesión aritmética con la segunda sucesión aritmética obtengo la sucesión que tengo aquí arriba es decir 1440 etcétera y bueno de hecho esto nos va a servir porque si yo multiplico el primer término de la primera sucesión por el primer término de la segunda asociación esto ya me dice que tiene que ser 1440 esto es justo lo que me está diciendo problema recuerda que lo que dice el problema es que esta sucesión de que arriba sale de multiplicar mis dos sucesiones aritméticas y bueno si yo me tomo mi segundo término de esta sucesión y multiplicó por el segundo término de la otra sucesión esto me tiene que dar el segundo término de esta sucesión que es mil 716 esto me tiene que dar mil 716 y también me dan en el tercer término entonces vamos a aprovecharlo y vamos a apuntar lo por acá si yo multiplico a 12m que es el tercer término de mi primera sucesión aritmética y esto lo multiplicó por b más 12 n que es el tercer término de mi segunda sucesión aritmética esto me tiene que dar igual a 1848 a esto que está aquí a 1848 y bueno vamos a apuntar también qué es lo que queremos lo que queremos es la multiplicación del octavo término de mi primera sucesión aritmética por el octavo término de mi segunda sucesión aritmética es decir a más 7 m que multiplica a su vez ab7 n ave más 7 n esto es lo que yo quiero saber bueno ya que tengo toda esta información lo primero que quiero que te des cuenta es que abordé es igual a 1440 esto va a ser importantísimo y pues vamos a ver qué es lo que queremos yo lo que quiero es encontrar este octavo término y este octavo término se le debe multiplicar a más 7 m por de más 7 n cuánto es esto vamos a hacer la multiplicación porque esta es una multiplicación algebraica entonces vamos a multiplicar este por este que me queda por ver después este por este y me queda 7 que multiplica que multiplica a n y después éste por este me queda 7 de m 7 bm y por último me queda 49 mn déjame mover un poco la pantalla para acá en queda 49 m n muy bien y entonces esto es justo lo que yo quiero así que déjame encerrarlo en un cuadrado porque esto es tras lo que voy muy bien ahora lo que quiero que te des cuenta es que al menos ya sabemos algo por 10.440 esta información como nos va a ser útil y por lo tanto en lugar de poner aquí a por ver voy a poner mil 4 40 y al menos tengo una cantidad de este octavo término que es el que yo quiero entonces ya al menos dimos un pequeño paso ahora vamos a usar también la información que nos dan de los otros dos términos tengo que am acm por vez más n esto es igual a mil 716 y cuánto es esto aprobé está por ver más apuren es a por en más de por n más m por él en más m por ende esto es igual a mil 716 lo único que hice fue la multiplicación algebraica pero ya sé cuánto vale a de ave vale 1440 entonces yo aquí tengo que haber vale 1440 y lo quiero pasar del otro lado entonces voy a restar de ambos lados de esta igualdad 1440 menos 1440 menos 1440 y de este lado pues estos dos se van se cancelan mientras que me queda a n más bm más nn y esto va a ser igual a mil 716 menos 1440 y que me queda de esto 6 -0 es esto es 64 para 11 esto es ponerlo 64 para 11 7 y esto se convierte en 6 entonces me queda 7 y después de 6 menos 4 que es 2 y uno menos uno es cero es decir que además bm más mn esto es igual a 276 ya usted la información de mis primeros términos ya usted la información de mis segundos términos pues vamos a ver qué es lo que me dicen mis terceros términos y para esto voy a hacer lo mismo la multiplicación algebraica de quien de estos dos y que me queda aporte más dos veces a n dos veces a n más dos veces bm más dos veces bm estos dos están aquí dos veces bm y por último más 4 mn4 mn y bueno yo sé que esto tiene que ser igual a 1848 porque es lo que me dice el problema pero de igual manera aquí ya tengo el valor de ave que es 1440 entonces vamos a usarlo y restamos de ambos lados de la ecuación 1440 menos mil 440 mil 2.440 y ya no me cabe le voy a poner por acá total estos dos se van y me quedan dos a n 2b m 4 men-2a n lo voy a poner por trabajo para que se vean todo muy claro por aquí está muy bien 2 a n 2b m más 4mn esto tiene que ser igual a quien bueno en 1848 - 1440 en lo cual es a 408 éstos lo mismo que 408 perfecto y si te das cuenta aquí tengo una ecuación o una igualdad que todas es divisible entre 2 entonces vamos a sacar la mitad si yo le sacó mitad me queda a n n más vehemente más dos nn más 2 mn esto es igual a la mitad de 408 que es 204 esto es igual a 204 y perfecto ya con esto estoy utilizando también mi tercera información que me dan es decir la información que me dan de la multiplicación de ministrers ceros términos pero ahora vamos a utilizar un poco más lógica fíjate bien aquí tengo a n más bm más m n y aquí lo que quiero es 40 nueve veces mn y entonces para no complicarme la vida lo que voy a hacer es que como aquí tengo séptima y aquí tengo séptima a estos dos voy a tomar de aquí y este 49 lo voy a tomar de acá así que déjame ponerlo aquí si yo de esta ecuación que tengo aquí y de esta ecuación que tengo aquí lo que hago es despejar ya sé vamos a eliminar todo lo que se pueda voy a restar esta ecuación de esta otra y me va a quedar menos a ene - bm menos m n esto es igual a menos 276 lo que estoy haciendo restando a la segunda ecuación le voy a restar la primera ecuación y por lo tanto esto me va a servir bastante porque con el método de suma y resta estos dos se van estos dos se van aquí solamente me queda un nn y yo sé que m n es exactamente lo mismo que 204 menos 276 lo cual es menos 72 m nm es igual a menos 72 y ya lo puedo poner aquí estos 49 que multiplica a mn pero mn vale menos 72 ahí vamos pasito a pasito elián menos es lo que vale mn y ya con esto vamos a seguir utilizando la información mn vale menos 72 menos 72 y entonces para el de otro lado va a pasar como más 72 o dicho de otra manera vamos a sumar 72 de ambos lados de la ecuación y me queda que a n más bm n bm es igual a quien pues estos dos se van y me queda 276 más 72 lo cual es 87 7 14 llevamos 11 y 2 son 3 n más bm es lo mismo que 348 perfecto y esto me va a servir bastante porque yo aquí tengo a james me parece un poquito yo aquí tengo 7 veces n 7 veces bm esto es lo mismo toda esta expresión que tengo arriba es exactamente equivalente a poner 1440 que está por ben y estos dos voy a factorizar un 7 lo voy a escribir como 7 que multiplica a en bn déjame ponerlo así de estos dos te voy a escribir como 7 que multiplica bm pero ya sé cuánto vale a en el bm bm vale 348 entonces me quedan 7 que multiplica a 348 muy bien ya esto le voy a agregar 49 que multiplica a menos 72 49 mn pero mn vale 72 negativo y entonces me queda más 49 que multiplica a menos 72 y ya tengo lo que vale por fin este término octavo de mi sucesión rara que tenía en un principio lo que tengo que hacer es estas cuentas que tengo por aquí perfecto ya logré tener una expresión completamente numérica así que vamos a hacer las cuentitas así que me queda cuánto es 348 por 7 7 por 8 son 56 y llevamos 5 7 por 4 28 más 5 son 33 y llevamos 3 y entonces me quedan 7 por 3 21 7 por 3 21 más 3 son 24 y entonces esto de aquí vale 2436 entonces me queda 1440 más dos mil 436 está bien vamos a verificar los siete por 856 llevamos 56 y sí sí sí entonces vamos a sumar estos dos una vez me queda 6 7 8 y 3 es decir que la suma de estos dos me da 3 mil 876 estos dos valen 3 mil 876 así que déjenme ponerlo por acá y ahora lo que hay que hacer es 49 x menos 72 49 x 72 es 2 x 9 18 llevamos 12 por 48 más 19 pongo un 0 7 por 9 63 y llevamos 67 por 428 más 6 es lo mismo que 34 34 perfecto y ahora vamos a sumar 82 llegamos 15 y 33 528 entonces esto hay que quitarle 35 28 y que me va a quedar vamos a bajar un poco la pantalla y dice 8 para 16 es 8 y esto se convierte en 68 para 16 es 8 y entonces me queda 6 menos 248 menos 5 que es 3 y estos dos se van por fin logramos el octavo término de esta sucesión que era una sucesión de multiplicar dos sucesiones aritméticas es 348 perfecto ya quedó resuelto este problema