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Transcripción del video

considera los polinomios p de x igual a x a las seis menos x a las cinco menos x al cubo - x cuadrada menos x y q de x igual a x a la 4 - x al cubo - x cuadrada menos 1 nos dicen si z1 sentados z3 y z4 son las raíces de q de x esto es cuando q de x es igual a cero calcula el polinomio p evaluado en z uno más en z dos más pensé está 3 más pensé está 4 muy bien entonces tenemos que calcular esta suma así que si nos damos pues bueno quizás primero sería bueno empezar por escribir que q dz uno es lo mismo que q dz dos y de hecho va a ser igual a los otros dos verdad q dz 3 y que también es q el z4 y esto va a ser igual a 0 esto es porque se está a unos 160 3 y z4 son las raíces de q muy bien justamente al evaluarlos en estos en estos números esto nos debe dar ok entonces ahora lo que podemos ver o lo que deberíamos intentar es ver si podemos escribir el polinomio p en términos de q si podemos hacer esto al menos ya sabemos que evaluado en q y esto vale 0 vamos a ver si esto es posible y fijémonos que q de x se parece a p si lo multiplicamos por x cuadrada tendríamos x cuadrada por x a la cuarta es x a la 6 - x cuadrada por x al cubo es menos x a la 5 y aquí ya fallaría un poco pero si multiplicamos 1 x x cuadrada nos da x cuadrada verdad entonces se parecen vamos vamos a escribirlo x cuadrada por q de x es igual a x a la 6 - x cuadrada x x al cubo es x a la 5 - x a la 4 - x cuadrada muy bien entonces la pregunta es que tengo que hacerle a esta expresión para llegar a p de x si nos fijamos nos sobra este x cuadrado entonces hay que sumarle x cuadrada para quitarlo muy bien de esta forma lo estaríamos quitando que más nos falta menos x al cubo entonces hay que restar menos x al cubo para que aquí aparezca y además nos falta menos x verdad entonces también le restamos x para que aparezca entonces que es lo que vamos a tener al final vamos a tener x cuadrada por q de x y ahora sumamos sumamos x 4a - x cúbica menos x y esto debería ser igual esto es igual a x a la 6 - x a la 5 éstos ya se cancelaron y nos queda vámonos con este amarillo menos x al cubo menos equis cuadrada menos equis cuadrada menos x y justamente obtuvimos pd x esto es exactamente igual pd x entonces bueno quizás esta expresión ya nos aproxima un poco porque si te das cuenta q de x ya está aquí expresado pero todavía no tenemos algo muy claro que hacer pero si nos fijamos ahora en esta parte de aquí esto se empieza a aparecer acude x verdad tenemos x a la cuarta menos x al cubo y simplemente tenemos que restar x cuadrada y menos 1 para tener q de x verdad esto sería lo mismo que q de x pero nos sobra x cuadrada bueno menos x cuadrada y menos 1 así que si se lo sumamos nos da esto que que marque con el verde verdad entonces le sumamos x cuadrada más 1 y que es lo que obtenemos al final podremos reescribir pd x pd x será igual a x cuadrada x cuadrada q de x muy bien más esta parte que subraya en verde que es q de x q de x mas x cuadrada más 1 y nos falta restar la x muy bien entonces al menos ya podremos decir que está más simplificado verdad o está escrito de mejor forma porque sabemos que por ejemplo si para r fue evaluado en heres se tiene que es 0 entonces quien sería evaluado en r y recordemos que r va a tomar el papel de z 1 z 273 o de z 4 entonces quién sería pdr si suponemos que q se anula con esa r entonces pdr sería r cuadrada werner nr más ere cuadrada menos r sería éste más 1 muy bien sin embargo como se anulan este término de aquí ya no pinta y éste tampoco ok esos dos se desaparecen ahora esto simplemente nos quedó entonces r cuadrada menos ser más 1 muy bien y es una expresión muy muy muy sencillita vamos a vamos a irlo aterrizando en lo que nosotros tenemos tendremos que como cuenta aún no se anula pz 1 sería igual a esto que obtuvimos z 1 al cuadrado menos aquí es menos menos z 1 más 1 op ahora vamos a tener lo mismo para z 2 vamos a ponerlo con otro color p en z 2 será igual a z 2 al cuadrado menos z 2 más 1 también vamos a tener lo mismo para t evaluado en z 3 esto será z 3 al cuadrado menos z 3 más 1 y finalmente también lo tendremos para p en z 4 en z 4 será z 4 al cuadrado menos z 4 más 1 entonces la pregunta ahora la pregunta ahora es si con esta información ya podemos obtener la suma que queremos verdad y si nos damos cuenta aquí ya podemos sumar digamos esto es lo que lo que nos daría la suma sería lo mismo que sumar lo que está de este lado derecho sin embargo bueno uno tú dirás oye ésta está muy padre que tú quieras sumar sin embargo no sé qué es esta suma verdad no sabemos en principio que es la suma de pse está a unos estados z 364 cuando están elevados al cuadrado sin embargo lo vimos ya justo en vídeos anteriores y es que este tema de la suma de las raíces de un polinomio y demás no es algo que se que se vea en los cursos clásicos de álgebra esto ya es un tema un poco más avanzado y que lo hace la gente que se dedica a estudiar propiedades divertidas de los polinomios y justamente vimos cómo se calcula la suma de de las raíces de un polinomio y la suma de los cuadrados de las raíces de un polinomio entonces eso esos vídeos ya los puse en la lista de las competencias de matemáticas y también en las de álgebra muy bien entonces en principio si uno suma estos unos pues nos debe dar cuatro muy bien ahora bien qué pasa si yo sumo de aquí qué pasa si yo sumo estos de acá en realidad voy a tener menos z 1 maceta 273 maceta 4 muy bien y esto es menos la suma de todos o bueno menos la suma de las raíces de q y eso ya sabíamos verdad esto debe ser igual al negativo del segundo término de orden más alto verdad bueno más bien sería el siguiente del orden más alto en este caso en este caso tenemos aquí que x a la cuarta es el orden más alto entonces menos uno menos uno es el coeficiente del siguiente término entonces será el negativo esto de aquí esto de aquí será el negativo de ese coeficiente que es menos 1 y esto es 1 pero como tenemos este menos de aquí simplemente nos vuelve a dar menos 1 entonces esta suma esta suma por debido a los vídeos que ya vimos -1 ahora la siguiente pregunta es quién es o cuánto vale la suma de los cuadrados de las raíces de q entonces tenemos z 1 al cuadrado más z 2 al cuadrado más z 3 al cuadrado más z 4 al cuadrado muy bien y esto cuánto vale bueno esto quedamos en aquellos vídeos que es menos 1 es el término es decir el término que sigue al más alto el coeficiente y eso elevado al cuadrado entonces sería menos 1 al cuadrado menos 2 por el siguiente coeficiente que digamos que le sigue al segundo más alto entonces sería este que aquí son menos 1 o lo que es lo mismo el coeficiente de 22 grados abajo del más grande verdad entonces aquí sería menos 2 x menos 1 y esto sería 1 verdad menos uno al cuadrado es 1 y menos 2 x menos 1 es 2 entonces esto nos queda simplemente 3 así que esta suma de aquí nos da 3 y ya hemos terminado porque ya podemos calcular esta suma muy sencilla que nos dice tres menos uno son dos más cuatro nos da seis y el vídeo queda concluido con con el resultado que es 6