Demostración de la fórmula del área del circunradio

en este vídeo queremos encontrar una relación entre el área de un triángulo y el radio de su círculo déjame pintar por aquí el cirque un círculo del triángulo porque va a ser más fácil hacerlo así y por aquí el triángulo va entonces tenemos un triángulo más o menos algo así supongamos que se ve algo de este estilo que este vértice se llama estevez estevez y este de aquí es se vale y que este lado se llama a minúscula bueno tiene longitud a minúscula este se llama b minúscula y este s minúscula bueno entonces queremos encontrar una relación entre el área del triángulo y el radio del circo un círculo o sea decir un radio vamos a empezar con el área para determinar el área del triángulo a bs vamos a necesitar una altura entonces déjame dibujarla por aquí entonces debe vamos a bajar una altura a ac vamos a pensar que aquí llega a un punto a un punto y digamos que esta altura mide h h ok entonces sabemos por la fórmula del área de un triángulo que el área de este triángulo el área del triángulo abc que se denota con corchetes a veces es igual a un medio un medio de la base por la altura aquí la base sería b minúscula y un medio de b b minúscula x h x h muy bien ahora vamos a empezar un poco en términos del cirque un círculo aquí tenemos el círculo que es el conjunto de puntos que distan del círculo centro y el radio es decir un radio la distancia de este punto a los vértices de acá bueno lo que vamos a hacer es que vamos a tomar un diámetro que pase por b es decir tenemos que tomar una recta que pase por b y por el centro déjame tomar la herramienta de recta para que se vea más más bonita entonces creo que algo así tiene que ir un poco más para acá si está bien vale entonces tomamos un diámetro por b y entonces ese diámetro pasa por este punto deja de llamarle o al circo un centro vale bueno aquí al punto diametralmente opuesto debe vamos a llamarle t y lo que vamos a hacer es que vamos a construir el triángulo a b d entonces déjame trazar esta esta otra en este otro segmento de aquí vale bueno observa que tenemos los triángulos abed y bs voy a mostrar que esos dos triángulos son semejantes y para eso vamos a utilizar varias de las cosas que ya vimos vale aquí como tenemos un diámetro b de entonces el ángulo b a d es un ángulo de 90 grados esto lo mostramos en en algunos de los vídeos de la lista de geometría pero la prueba no era muy difícil ya lo podemos pensar así este es un ángulo inscrito que tiene que ver con este arco de acá pero este arco mide 180 grados porque claramente aquí tenemos una línea recta verdad entonces este de aquí mide la mitad de 180 grados y por lo tanto es un ángulo de 90 grados bueno entonces aquí tenemos 90 grados pero observa observa que además este arco de aquí este ángulo de aquí está suspendido por dos ángulos inscritos para empezar este ángulo inscrito de aquí sub tiende al arco ave y además este ángulo inscrito de aquí también se tiende al arco ave entonces estos dos ángulos tienen que ser iguales ambos son iguales a la mitad de la longitud de este arco vale bueno pues eso nos va a permitir concluir que los triángulos ave de jbc son semejantes porque observa tienen un ángulo recto ambos aquí está en nada y aquí estén y además tienen el ángulo naranja en común el ade b es congruente al s b entonces son dos ángulos o dos triángulos con dos ángulos en común por lo tanto el tercero también tiene que ser igual al tercero éste aquí es igual este de acá y por lo tanto son dos triángulos semejantes vale déjame apuntarlo por acá tenemos que el triángulo el triángulo abb de es semejante al triángulo de bs al triángulo b c y estoy aquí es por el criterio ángulo ángulo ángulo ángulo bueno esto está padre porque ahora vamos a poder escribir las razones entre los lados de estos triángulos con una cierta relación verdad entonces déjame escribir cómo quedaría tenemos que se entrevé de este es este lado entre la hipotenusa y la hipotenusa es simplemente dos veces el círculo radio verdad entonces lo voy a poner por acá lo voy a poner en color dos con este azul de la semejanza tenemos que se hace entre el diámetro o sea dos veces el círculo radio es igual a y vamos a los lados correspondientes aquí tenemos este lado que es el rey entre el recto y el verde que sería este este de aquí entre el recto y el verde entonces sería el correspondiente sería h dividido entre la hipotenusa aquí la hipotenusa es 12 r pero en el pequeño la hipotenusa mide a entonces sería h / a muy bien entonces aquí ya tenemos una relación con ave h&r y aquí tenemos otra que tiene al área b&h entonces se ve que ya estamos en el último jalón verdad ya nada más tenemos que de alguna forma substituir el valor de h aquí abajo y con eso terminaríamos como le vamos a hacer podríamos despejar h aquí y luego ponerlo así vamos a hacer eso vamos a despejar h de este término va entonces para despejar h debemos deshacernos de él un medio de b para eso déjame multiplicar por 2 b por 2 entre b perdón 2 entre b del lado derecho por 2 entre b del lado izquierdo aquí la b y el 2 se cancelan y nos queda el valor de h nos queda que h es igual a 2 veces el área del triángulo abc 2 veces el área del triángulo el triángulo a b c a veces dos veces / / / b / b la longitud del lado del lado hace vale bueno ahora este valor de h lo podemos sustituir aquí abajo vamos a ver qué nos queda nos quedaría voy a tomar otro color para que no sea tan monótono nos quedaría que se dividido entre dos veces el radio es igual a h que es dos veces el área de el triángulo abc dividido entre b y todo eso dividido entre al saleh porque nada más cambie esta h entonces es todo eso es dividido entre a y bueno el lado derecho lo podemos simplificar un poco nos queda dos veces el área del triángulo abc abc y aquí estamos dividiendo entre b y luego entre a y eso es lo mismo que dividir entre ave tres ave ya nada más falta hacer algunas manipulaciones algebraicas vamos a multiplicar el cruzado este ave para acá y este 12 r para acá entonces nos quedaría nos quedaría que a veces el producto de las longitudes de los lados igual a 2 x 2 es 44 veces r r es decir un radio x el área de abs simplemente lo que hicimos fue multiplicar por 12 r por ave de este lado por 12 r por ave de este lado este se cancela con este este se cancela con este y obtenemos esta expresión va bueno pues ya terminamos básicamente ahora simplemente hay que hay que despejar r para eso voy a multiplicar por ambos lados por el recíproco de 4 veces el área entonces multiplicando por eso explicando por eso me queda aquí pues uno entre cuatro veces el área de el triángulo abc de este lado nos queda pues 1 entre 4 veces el área de abc abc de este lado esto se cancela bueno este y este se cancelan con este y entonces nos queda que r voy a agarrar un color brillante nos queda que r bueno más brillante todavía nos queda que r el círculo radio es igual es igual al producto de los lados es igual a b c / dividido entre 4 veces 4 veces el área del triángulo a b c y listo con esto encontramos una relación entre el círculo radio y el área del triángulo abs y también puedes pasar este abc para acá y el radio acá multiplicando por el recíproco de abc entre r entonces también nos queda que el área de abc el área de abc es igual a el producto a por b por c dividido entre cuatro veces cuatro veces el círculo radio y entonces esto está padre si por alguna razón tienes el triángulo abc y la longitud del círculo radio o la medida decir que un radio entonces puedes determinar el área