Rompecabezas: prender y apagar focos

supongamos que tenemos 100 focos voy a poner los focos por aquí entonces déjame dibujar pues no sé el primer foco luego el segundo foco y así sucesivamente hasta que llegó hasta el foco número 100 este de aquí es el foco número 100 y lo que voy a hacer es prender los y apagarlos con ciertas reglas pero antes de cualquier cosa déjame decirte que todos estos focos comienzan apagados entonces comienzan apagados muy bien ahora lo siguiente que voy a hacer es numerar los focos desde el 1 hasta el 100 estoy aquí lo voy a poner el foco 1 luego el foco 2 y voy a seguir hasta el foco número 100 lo que voy a hacer ahora es hacer una serie de pasos para aprenderlos y apagarlos en el paso número 1 voy a cambiar todos los focos que bueno ósea para cambiar pues todos los focos va entonces por ejemplo si hago estos pasos como estaban apagados van a quedar todos prendidos déjame escribirlo por algún lado entonces en el paso número 1 entonces en el paso 1 todos quedan prendidos prendido prendido prendido todos estos van a quedar prendidos excelente luego en el paso número 2 los voy a aprender uno si uno no bueno más bien uno no hay uno sí o sea que me refiero con esto pues por ejemplo el foco número uno no lo voy a cambiar entonces estaba prendido se queda prendido el 2 y entonces el uno se queda prendido y el 2 se apaga el 3 va a quedarse prendido el 4 se apaga y así sucesivamente entonces esencialmente cada foco que tiene un número par pues queda apagado en este paso el 100 también va a quedar apagado apagado muy bien en el siguiente paso a ver déjame tachar esto de aquí en el siguiente paso en el 3 voy a cambiar 2 no y 15 entonces qué va a suceder los 2 primeros van a quedar en el mismo estado prendido y apagado pero el tercero sí lo voy a cambiar entonces este estaba prendido y ahora queda apagado apagado luego el cuarto y el quinto no cambian queda apagado el quinto a ver estaba estaba aquí lo teníamos prendido verdad entonces abajo queda prendido todavía pero luego el sexto en este caso estaba apagado y lo voy a cambiar ha prendido entonces voy a cambiar 2001 sí o sea otra forma de decirlo es voy a fijarme en los números de los focos y entonces cada foco que tenga un múltiplo de 3 va a ser cambiado si es un múltiplo de 3 y de 2 ya lo hemos cambiado este dos veces verdad bueno 3 por el paso 1 por el paso 2 y por el paso 3 entonces lo que voy a hacer ahorita es 100 pasos es decir voy a hacer el paso 1 el 2 el 13 4 y así sucesivamente hasta el paso número entonces imagínate que ya hicimos todo ese lío de operaciones que aprendimos y apagamos focos en el paso 3 cambiamos los múltiplos de 3 en el 7 los múltiplos de 7 y así pero mi pregunta es después de 100 pasos entonces lo voy a poner aquí después de 100 pasos o sea después del paso 1 paso 2 y así hasta el paso número 100 cuántos de estos focos van a quedar prendidos va entonces cuántos de los focos quedan prendidos ok esta de ahí es la pregunta del acertijo cómo le haces para descubrir de estos 100 focos cuáles van a quedar prendidos bueno ok para aclararlo un poquito en el paso número 100 por ejemplo en el paso número 100 lo que hacemos es cambiar todos aquellos que tienen un múltiplo de 100 ok entonces qué sucede pues únicamente cambiamos este foco de acá el foco número 100 y si estaba apagado se va a prendido y de prendido se va apagado estoy aquí lo puedes hacer sin una hoja de cálculo ni nada sólo hay que encontrar la idea correcta y se puede hacer a mano muy fácilmente va bueno entonces la pregunta es cuántos son y la pregunta bonus es cuáles son si quieres intentarlo es momento para detener el vídeo ahorita y a partir de ahorita cualquier cosa que diga va a ser parte de la respuesta voy a empezar con algunas sugerencias a ver vamos a pensarlo primero por pasos osea que sucede en cierto paso en el paso número 2 dijimos que cambiamos de estado todos aquellos focos que tienen pues un número que sea divisible entre 2 luego en el paso número 3 voy a cambiar todos los focos que tienen un múltiplo de 3 entonces en cada paso que es lo que estoy haciendo o sea a ver si estoy en paz en el paso n dejame escribirlo por acá arriba si esto es una buena sugerencia en el paso número n cuáles focos se cambian pues justo a los múltiplos de n entonces déjame escribirlo con otras palabras voy a ponerlo como que n es un factor del foco estoy volteando un poquito la observación entonces cambia si n es un factor del número en el foco del número en el foco esto de aquí simplemente es una forma sofisticada de decidir no sé por ejemplo en el paso 17 voy a cambiar todos los múltiplos de 17 o bien sé que voy a cambiar el foco 51 porque 17 es un factor de 51 17 por 3 51 va entonces simplemente vamos a cambiar un poco cuando uno de sus factores es el paso en el que estamos entonces ahora vamos a cambiar esta observación para algo que nos ayude más vamos a fijarnos en un foco en un foco en particular digamos el foco pues el foco número 8 va el foco número 8 entonces cuando vamos a cambiar este pues claro en el paso 1 lo vamos a cambiar aprendido luego en el paso número 2 lo vamos a cambiar a apagado eso porque 2 divide a 8 en el paso 3 nada va a pasar y nada va a pasar porque pues 3 no divide a 8 exactamente ok en el paso 44 divide a 8 entonces lo cambiamos aprendido y luego cuál es el siguiente paso en el que cambiamos pues el 8 vamos a apagarlo y se va a quedar apagado entonces cada vez que uno de los factores es el paso vamos a cambiar el foco y pues como puedes ver para que un foco quede prendido hasta el final su número debe tener una cantidad impar de factores eso está muy interesante déjame escribirlo por aquí porque es una observación clave entonces para que un foco quede prendido debe de tener cantidad impar de factores muy bien ahora esta es una pregunta muy interesante cuáles números tienen una cantidad impar de factores de hecho esta es una pregunta que nos deberían hacer desde secundaria porque está muy interesante es bonita es teoría de números básica y pues no sé o sea es algo como que te ayuda mucho a entender matemáticas vamos a explorarla un poquito vamos a empezar con el 1 el 1 tiene pues nada más un factor entonces uno funciona porque tiene una cantidad y un par de factores entonces es el foco uno va a quedar prendido porque solo lo cambiamos en el primer paso qué tal con dos los factores de 2 son 1 y 2 son 2 de ellos entonces va a aprender si luego a apagarse entonces va a quedar apagado con el 3 pasa algo similar 1 y 3 son sus factores con el 4 sus factores son 1 2 y luego 4 y mira 4 también funciona aquí tenemos tres factores que es una cantidad impar de factores entonces el foco con el número 4 va a quedarse aprendido lo aprendemos en el paso 1 lo apagamos en el paso 2 y luego lo prendemos en el paso 4 y luego ya no le hacemos nada sigamos con 5 tiene a 1 y 5 luego con el 6 tiene 123 y 6 tiene una cantidad para entonces se queda apagado 71 y 78 ya lo hicimos en 1248 cantidad para 99 sus factores son 13 y 9 mira otra vez aquí tenemos una cantidad impar de factores entonces 9 también va a ser un foco que va a quedarse prendido que el foco con el número 9 también va a quedarse prendido ahora vamos a seguir no sabes qué mejor vamos a ver si podemos encontrar un patrón a ver del 1 al 4 el brinco es 3 luego el brinco de 49 es 5 entonces con un poco de suerte pero a ver si el 5 verdad si entonces con un poco de suerte el siguiente brinco va a ser de 7 o sea como que van brincando en números impares 97 es 16 vamos a ver si funciona sus factores son 1 24 8 y 16 si funciona esto está muy padre fíjate de 9 a 16 el brinco fue de 7 d de 4 a 9 el brinco fue 5 entonces parece que tenemos un patrón pero hay algo un poco más evidente o un poco más interesante de 14 9 y 16 es decir entre 9 y 16 te aseguró que ninguno funciona pero bueno qué sucede con estos números qué pasa con el 14 9 y 16 porque tienen una cantidad de importes factores pues fíjate aquí en el 2 el 1 está emparejado con el 21 por 12 2 en el 6 1 por 6 3 6 y 2 por 13 6 siempre hay una pareja pero en estos números que indicamos aquí siempre queda un huerfanito por ejemplo el 1 con el 4 si es pareja pero el 2 ya no tiene una pareja distinta porque 2 por 2 3 4 si nos vamos para acá con el 9 3 por 3 9 y con el 16 4 por 4 es 16 así todos los números que van a quedar perdidos son números cuadrados perfectos ser cuadrados perfectos causa que tengan una cantidad de imparte factor entonces regresando a la pregunta básicamente nos están preguntando cuántos números cuadrados hay entre 1 y 100 muy bien entonces pues podríamos enlistar los verdad podríamos decir pues son 14 9 16 y así hasta 100 pero como solo nos preguntan cuántos podemos pensar en un argumento alternativo es decir cuántos números elevados al cuadrado quedan más chiquitos que 100 pues bien es igual a 10 al cuadrado entonces sólo podemos elevar al cuadrado del 1 al 10 para obtener un cuadrado perfecto entonces pues sólo va a haber 10 números que funcionen un al cuadrado 2 al cuadrado y así hasta 10 al cuadrado pero bueno si te confunda un poquito puedes enlistar los el último va a ser 100 y aquí en medio vamos a poner los otros 100 es 10 al cuadrado los otros cuadrados son 1 al cuadrado 2 al cuadrado 3 al cuadrado 4 al cuadrado vamos a poner los 5 al cuadrado que es 25 luego 36 49 64 y 81 listo entonces estos números son los que quedan en los focos que hasta el final cuando hagamos todos los pasos quedan encendidos que te haya gustado