Rompecabezas: contar caminos

suponemos que tenemos una cuadrícula de 6 x 6 y eso es lo que está dibujado ahí 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y vamos a empezar arriba a la izquierda donde estamos dibujando una s y el chiste es llegar abajo a la derecha donde estamos dibujando una estrella y uno solo se puede mover en dos direcciones uno solo se puede mover a la derecha o hacia abajo pero definitivamente no nos podemos ver en diagonal no nos pongo a ver hacia arriba y no nos pueden mover hacia la izquierda así es que en cada paso que demos nos vamos a estar acercando un poquito más hacia la estrella no nos podemos hacer hacia atrás y me pregunta para ti eres de cuántas formas distintas nos podemos ir de la s a la estrella cuántos caminos distintos hay esa es la del problema entonces le puedes poner pausa y tratar de resolverlo y después cuando le quites la pausa vamos a ver paso por paso la solución le puedes poner pausa en cualquier paso intermedio y ver los pasos como pistas también y bueno podemos empezar digamos viendo de cuántas formas podemos ir de la s a cada cuadrado en medio y eso nos va a ayudar un poco a ver cuántos caminos hay hasta la de la deseada la estrella cambiamos de color de cuántas formas podemos ir de la s al cuadrado de la derecha pues solo nos podemos ir de una forma no se podemos seguir de la s a la derecha y ya estamos en el cuadrado hay una forma y para el cuadro de abajo tenemos lo mismo solo podemos irnos de arriba hacia abajo entonces hay una única forma hay que recordar que no pronunciar la derecha después hacia abajo y luego hacia la izquierda porque irá hacia la izquierda nos aleja de la estrella y no podemos hacer eso es uno de los pasos prohibidos no entonces pero bueno de cuántas formas podemos ir a esta otra celda pues podemos ir a la derecha y luego otra vez a la derecha y ya es la ule el único camino que hay si vamos hacia abajo no vamos a poder regresar hacia arriba entonces hay una única forma y lo mismo pasa por para todos esos cuadrados de arriba podemos hacer el mismo tipo de pensamiento para los cuadrados de la izquierda así y entonces solo podemos ir por caminos que vayan directamente hacia abajo y hay una forma para cada uno de esos cuadrados pero bueno veamos algo un poquito más interesante cuántas formas hay que llegar a ese cuadrado que estamos pintando de verde en estos momentos pues lo primero que podemos hacer es ir hacia abajo y luego hacia la derecha o hacia la derecha y luego hacia abajo y entonces pues podemos ver que hay dos caminos para llegar a ese cuadrado pero pues estuvo muy fácil porque anda más cuatro cuadrados pero ya podemos empezar a ver un patrón no dibujemos allí un cuadrado y dibujemos otro cuadrado no eso no lo quiere hacer mejor dibujemos luego así y dibujemos lo así y digamos que son cuales queda tres cuadrados en nuestra cuadrícula de 6 x 6 realidad no tiene que ser una cuadrícula de 6 x 6 puede ser una cuadrícula de 100 por 100 pero no tardaremos demasiado en hacer las cuentas supongamos que queremos encontrar cuántas formas hay cuántos caminos hay de llegar a este lugar si hay n n caminos que llegan al cuadro de arriba y hay m caminos que llegan al quad de la izquierda entonces bueno la única forma de llegar a ese cuadrado que ahora vamos a señalar con blanco la única forma de llegar a ese cuadrado yendo solo hacia abajo o solo hacia la derecha es llegar al cuadrado de arriba y luego bajar o llegar al cuadro de la izquierda y luego ir a la derecha entonces de cuántas formas congrega ahí pues la única forma es ver cuántos caminos llegan al cuadrado de arriba y la misma cantidad de caminos que llegan al codo arriba van a ser la misma cantidad de caminos que lleguen al codo arriba y luego bajen porque pues nada más estamos bajando y lo mismo sucede desde la izquierda entonces para llegar a este cuadrado que es la celda que es lo mismo hay n más m formas de llegar enemas m caminos espero que lo hayan entendido no hay dos formas de llegar desde arriba o desde la izquierda y hay n formas de llegar desde arriba y porque sólo hay una forma de llegar al algo de arriba y hay formas de llegar al cuadrado de la izquierda veamos si esto que acabamos de ver funciona porque no lo podemos tomar así nada más como axioma de fe y tiene que tener sentido para ti cuántas formas hay del grave según lo que acabamos de ver deberíamos de nada más sumar dos más uno y nos quedan tres veamos si funciona podemos ir siempre a la derecha y luego hacia abajo o ponzio a la derecha abajo ya la derecha o pueden seguir el tercer camino abajo y luego a la derecha y ya y ahora ve de las tres formas para llegar allí una viene desde arriba y dos vienen desde la izquierda lo cual tiene sentido de acuerdo a lo que acabamos de ver no es bueno vamos a llenar toda la caja a ver ese es uno dos tres que también también 3 luego vamos a cambiar de color para ser un poquito más interesante 13 son 4 33 16 31 son 4 y pues ya podemos empezar una simetría en esa diagonal hay 3 y un 3 hay un 4 en 4 están los turnos se han visto los videos de los coeficientes binomial eso el triángulo de pascal deberían de empezar a reconocer algunas cantidades ahí hay un 5 este cuando tiene un montón de cosas curiosas tienen los unos tiene del 1 al 6 1 2 3 4 5 6 64 16/04/2010 10 5 15 21 20 15 25 21 35 35 70 35 21 son 56 35 21.56 156 60 70 son 126 126 y finalmente 126 más 126 son 252 que vamos a escribirlo con un color especial entonces hay 252 formas 252 caminos que van de ese a la estrella de hecho pudimos haber hecho esto para cualquier cuadrícula podría ser por ejemplo una vez 5 x 4 y nos quedaría 35 ahora para hacerlo a mano o sea allí ver camino por camino te habrías tardado años bueno no años pero mucho hay algo muy interesante aquí si si viste el vídeo los coeficientes binomial es reconocerás que estos son los coeficientes binomial es así es que bueno déjame dibujar algo aquí por cierto esto es algo extra ya resolvimos el problema si tu único objetivo era resolverlo y no ver cómo se conecta con otras cosas de matemáticas pues dejar de ver el vídeo aquí pero te voy a enseñar algo muy interesante si queremos encontrar la potencia n de x + d hacemos esto mucho en los vídeos de los coeficientes binomial es y el triángulo pascal pero quiero que veas que es exactamente lo mismo de hecho podría ser más fácil para ti que usa el triángulo de pascal aunque esencialmente es lo mismo si escribimos arriba 1 x x cuadrada bueno aquí x cuadrada no se ve muy bien x la 3x a la 4 x a las 5 se supone que van arriba al cuadrado pero pues ni modo 1 al cuadrado y al cubo 4 llegué a las 5 y si yo quisiera encontrar dado todo esto cuál es x más a la no sé a la 4 bueno lo que podemos hacer es ok bueno ya sabemos que es x a la 4 más un montón de términos más que a la 4 y todo ello en medio decimos bueno o equis a la 4 y justo hasta la 4 y bueno vamos a ver ver esta diagonal de aquí en medio entonces esta diagonal de aquí pues esta diagonal nos va a decir cuál son los coeficientes y no sólo no va a decir los coeficientes nos va a decir cuál es la mezcla de los coeficientes a ver a qué me refiero con esto bueno primero tenemos que borrar un poco cosas esto es extra al problema ya resolvimos el problema entonces bueno si quieren ver cuáles x más ya la 4 lo único que tenemos que hacer es bueno después nos va a dejar jugar un poco con este cuadrado para que vean todas las cosas curiosas que tienen las diagonales pero si quieren ver cuáles x más real a 4 primero vemos que es x a la 4 x 1 1 x l 4 x 1 + 4 x 3 por qué y eso es justo ese con s + 6 x al cuadrado porque al cuadrado y x al cuadrado y al cuadrado + 4x por tres y luego al fin el 1 y el 4 por 1 y podrían decir es este maravilloso porque funciona y bueno la forma de pensar lo es cuando multiplica x + ya la 4 y les recomiendo que lo intenten un día que estén aburridos pues hay 6 formas de obtener un término de estos x cuadrada por ye cuadrada lo verán cuando multipliquen los términos lo explicamos en la parte de intuición de los vídeos del teorema del binomio y hay seis formas de llegar a este término lo cual es exactamente la pregunta de cuántas formas hay de llegar a este cuadrado y como ya vimos 66 bueno espero que lo hayan disfrutado un poco