Demostraciones acerca de triángulos isósceles

comencemos con este triángulo abc y vemos en el dibujo que ya sabemos que la longitud de ave es igual a la longitud de ac o que el segmento de recta a b es congruente con el segmento de recta hace y dado que es un triángulo y dos lados de este triángulo son congruentes o tienen la misma longitud podemos decir que este es un triángulo isósceles una de las palabras son más difíciles de deletrear creo que lo escribí bien y eso simplemente significa que dos de los lados son iguales ahora lo que quiero hacer en este vídeo es demostrar lo que quiero demostrar es que estos dos ángulos que a veces se los conoce como ángulos de base y son los que se forman entre uno de los dos lados iguales y el lado que no es necesariamente igual a él y entre el otro lado que es igual y el que no necesariamente es igual quiero mostrar que son congruentes entonces quiero probar que ese ángulo abc es congruente con el ángulo acb en un triángulo isósceles estos dos ángulos a menudo se denominan ángulos de la base y éste arriba podría llamarse el ángulo del vértice y estos lados del triángulo isósceles a menudo se les llama patas y el lado de aquí abajo que no necesariamente tiene la misma longitud que los otros dos se llama base entonces veamos si podemos demostrar esto no tenemos mucha información aquí solo que estos dos lados son iguales pero ya tenemos bastante información sobre congruencia de triángulos entonces tal vez podamos construir aquí dos triángulos que sean congruentes y luego podremos usar esa información para determinar si este ángulo es congruente con este otro ángulo y el primer paso si vamos a utilizar la congruencia de triángulos es construir dos triángulos entonces una forma de construir dos triángulos es establecer otro punto aquí establezcamos el punto de y digamos que d es el punto medio entre b y c es el punto medio así que la distancia de beade será la misma que la distancia de de hace y obviamente entre dos puntos tienes un punto medio permíteme dibujar el segmento ade y esto es útil porque ahora hemos construido dos triángulos y lo que es aún más genial es que el triángulo a vd y el triángulo acd tienen este lado congruente este otro lado congruente y comparten este lado de aquí así que sabemos que el triángulo abed es congruente con el triángulo acd y lo sabemos por el el lado lado lado si tienes dos triángulos que tienen tres lados que son congruentes o tienen la misma longitud entonces los dos triángulos son congruentes y esto es útil porque si estos dos triángulos son congruentes sus ángulos correspondientes son congruentes con esto ya hemos demostrado nuestro resultado porque el ángulo correspondiente a abed en este triángulo es el ángulo acd en este otro triángulo entonces sabemos que el ángulo abc es congruente con el ángulo acb este es un resultado bastante bueno si tienes un triángulo isósceles un triángulo donde dos de los lados son congruentes entonces sus ángulos de la base estos ángulos de la base también serán congruentes ahora pensemos en esto de otra manera podríamos afirmar lo opuesto si los ángulos de la base son congruentes sabemos que estas dos patas serán congruentes vamos a construir un triángulo y veamos si podemos demostrarlo al revés así que dibujaré otro triángulo justo aquí permíteme dibujarlo así aunque no me está saliendo tan bonito entonces llamaré a esto a llamaré a esto ve y llamaré a esto sé justo allí y ahora comenzaremos con la idea de que este ángulo el ángulo abc es congruente con el ángulo acb por lo que tendrían exactamente la misma medida y lo que queremos demostrar en este caso permíteme dibujar una línea aquí para mostrar que estamos probando una idea diferente aquí estamos diciendo que si estos dos lados son iguales entonces los ángulos de la base serán iguales lo hemos demostrado ahora queremos hacer lo opuesto si los ángulos de la base son iguales entonces los dos lados son iguales por lo tanto queremos demostrar que él ace es congruente con ave o podríamos decir que la longitud del segmento hace que d notaremos de esta manera es igual a la longitud del segmento ave estas son declaraciones esencialmente equivalentes entonces veamos entre las herramientas que ya tenemos están los teoremas de congruencia pero para aplicarlos necesitamos tener dos triángulos así que construyamos los triángulos aquí y esta vez en lugar de definir otro punto como el punto medio voy a definir de como el punto que si viéramos abc como una recta horizontal sería el punto que baja directamente desde a y la razón por la que digo esto es porque hay algún punto que podríamos llamar altura que intersecta bc en un ángulo recto definitivamente existe un punto así entonces si es un ángulo recto en este lado si son 90 grados entonces sabemos que también este otro ángulo mide 90 grados ahora que tiene de interesante esto permíteme escribir esto construir ade de manera tal que ade es perpendicular a veces y siempre puedes construir una altura esencialmente solo tienes que hacer que veces sea una recta horizontal y luego solo tienes que comenzar a dibujar una recta desde a- y llegarás al punto de siempre puedes hacerlo con un triángulo como este entonces que nos da esto aquí tenemos un ángulo un ángulo y luego un lado en común y aquí tienes un ángulo que corresponde a este ángulo un ángulo que corresponde a este ángulo y el mismo lado en común sabemos que estos triángulos son congruentes por el ángulo ángulo lado que hemos mostrado que es un postulado congruente válido entonces podemos decir ahora que el triángulo abed es congruente con el triángulo acb y lo sabemos por ángulo ángulo lado este ángulo y este ángulo y este lado este ángulo y este ángulo y este lado y una vez que sabemos que estos dos triángulos son congruentes sabemos que cada ángulo y lado correspondiente de los dos triángulos también serán congruentes entonces sabemos que a b un lado correspondiente a hacer por lo que estos dos deben ser congruentes así que ave va a ser congruente con hace y eso es porque éstos son triángulos congruentes y hemos demostrado lo que queríamos demostrar si los ángulos de la base son iguales entonces las dos patas serán iguales si las dos patas son iguales entonces los ángulos de la base son iguales es una herramienta muy muy muy útil en geometría y en caso de que tengas curiosidad para este triángulo isósceles específico aquí configuramos de como el punto medio acá configuramos de para que esté directamente debajo de a no dijimos si era el punto medio pero aquí podemos mostrar que es el punto medio como un pequeño resultado adicional porque sabemos que dado que estos dos triángulos son congruentes bd será congruente con dc porque son los lados correspondientes entonces en realidad resulta que el punto de para un triángulo isósceles no sólo es el punto medio sino que es el punto en el que es una bisectriz perpendicular de bc entonces no sólo a d perpendicular a veces sino que lo divide a la mitad y de ese el punto medio de toda esa base