Escribir ecuaciones lineales en todas la formas

Una línea recta pasa por los siguientes puntos, el punto -3, 6 y el punto 6, 0. Encuentra la ecuación de la linea en, Inciso a, forma punto-pendiente. Inciso b, la forma pendiente-ordenada al origen. Inciso c, la forma estándar. Y este ejercicio me pareció bastante interesante porque dice más o menos lo siguiente, que una línea recta la puedo escribir de las tres maneras posibles, así que vamos a recordar cada una de estas maneras. La forma punto pendiente, si nosotros tenemos un punto "x1", "y1" y este punto sabemos que está en nuestra línea recta, entonces podemos escribir a la línea recta de la siguiente manera, y ojo, aquí hay algo muy importante. Casi siempre vemos a "y" como una función de "x", sin embargo aquí lo que me estoy tomando es un punto particular, un valor que yo ya me sé, tanto de "x" y de "y", un punto que sé que está en mi línea recta y si ya sé, este punto que está en mi línea recta y ya también conozco la pendiente, entonces se que la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea recta, es ésta, "y" - "y1" es igual a "m" que multiplica a "x" menos "x1", por ejemplo, si en este caso yo tengo a este punto de aquí y lo quiero poner en mi ecuación de la forma punto-pendiente, entonces aquí me quedaría "y" menos 6, es igual a "m" que multiplica a "x" menos -3, a "x" más 3, porque menos por menos me daría más. Bueno, ahorita la vas a ver con mucho más claridad cuando resolvamos este ejercicio. Así que vamos a pensar en la siguiente. La forma pendiente ordenada al origen, "y" es igual a "mx" más "b", esto lo hemos visto varias veces donde "m" es la pendiente y "b" mi ordenada al origen o donde intersectamos al eje de las "y"... el valor, en donde intersectamos al eje de las "y". Y la forma estándar es la forma "ax" más "by" igual a "c". Aquí tengo tanto los valores de "x" como lo valores de "y" de un lado de la ecuación y el valor del coeficiente libre del otro lado de la ecuación. Así que bueno, lo primero que quiero hacer para resolver este problema es algo muy importante, es pensar en la pendiente. Si yo sé la pendiente de esta recta, pasar de una forma a la otra, va a ser muy sencilla, pues solamente vamos a necesitar un poco de álgebra. Entonces, ¿cuál es la pendiente de esta recta que tengo aquí? La pendiente que es igual a "m" es el cambio en "y" entre el cambio en "x", delta de "y" entre delta de "x", o como ya hemos visto varias veces esto es exactamente lo mismo que "y2" menos "y1" entre "x2" menos "x1", la diferencia entre los valores de "y" entre la diferencia entre los valores de "x", por lo tanto voy a tomarme a éste como un punto final y me queda, "y2" que es 0, menos "y1" que es -6, entonces 0 menos 6 y a esto lo voy a dividir entre "x2" el cual va a ser 6... "x2" vale 6... que es el valor de "x" en este punto final, menos "x1", pero "x1" vale -3, que es el punto inicial. Fíjate bien, este 0 va a aquí y entonces abajo tengo que poner su correspondiente coordenada en "x", este 6 que tengo aquí es el valor de "y1" y abajo tengo que poner su correspondiente valor de "x", "x1", para que no te confundas, este otro 6, es este otro 6, date cuenta que aquí tengo del punto 6, 0, 6 en "x", 0 en "y", mientras que hay que restarle el valor de "x1" que es -3, es decir, 6 menos -3, donde -3 representa el valor de "x" de este punto, del punto -3, 6. Y bueno, ya que tengo aquí todo con orden, ahora sí, vamos a hacer la correspondiente operación que tengo aquí, 0 menos 6 es lo mismo que -6... déjame ponerlo con este color... 0 menos 6 es -6, esta es la diferencia entre los dos valores que tengo de "y" y después 6 menos -3, es lo mismo que 6 más 3, lo cual me da 9... 6 menos -3 me va a dar 9, que es la diferencia entre los valores que tengo en "x" y me queda -6/9, pero -6/9 se puede reducir si sacamos tercera arriba y tercera abajo, me queda -2/3. Y perfecto, ya tengo la pendiente, una vez que ya tengo la pendiente, entonces me voy a fijar en el inciso A que dice, encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, así que ya tengo un punto, ya tengo la pendiente, ya va a ser fácil encontrar esta forma punto-pendiente. Déjame ponerlo aquí. Punto-pendiente. Y bueno, entonces tengo la ecuación "y" menos "y1" es igual a "m" por "x" menos "x1", "y" menos "y1" me voy a tomar este punto, "y1" vale 6 por lo tanto va a ser "y" menos 6, esto tiene que ser igual a la pendiente que vale -2/3, "y" menos 6 es igual a -2/3, que es la pendiente que multiplica a "x" menos "x1", pero "x1" es el valor de "x" en este punto que me estoy tomando, en este punto en particular, "x" menos -3 y cabe mencionar que sería lo mismo si tomara yo al otro punto. Lo único que necesito es un punto que viva en esta ecuación y me queda que "y" menos 6 es igual a -2/3 por "x", menos por menos me da más, por "x" más 3. ¡Y aquí está! ya tengo la primera respuesta, el inciso a, de esta pregunta. Ya tengo la forma punto-pendiente de esta recta. Y bueno, se me hace importante decirte de nuevo que sirve de igual manera si tomamos al otro punto. A ver, el inciso b dice, vamos a escribir la ecuación de esta recta en la forma pendiente-ordenada al origen y bueno para esto me voy a basar en esta que ya tengo aquí. Lo que voy a hacer es distribuir este -2/3 y despejar a "y" y me queda que "y" menos 6 es igual a -2/3 por "x", es -2/3 de "x"... "-2/3x" y -2/3 más 3, es más por menos menos, el 3 y el 3 se cancela y solamente me queda -2. Y bueno, aquí lo que voy a hacer es sumar 6 de ambos lados de la ecuación y me queda que... aquí le sumo 6, aquí le sumo 6... del lado izquierdo se van a cancelar -6 más 6 y solamente me queda "y" y del lado izquierdo me queda -2/3 de "x" y después -2 más 6 lo cual es 4 positivo, más 4. "y" igual a -2/3 de "x" más 4 es la solución del inciso "b" porque fíjate que aquí ya tengo la pendiente, la pendiente vale -2/3 y además sabemos que intersecta al eje de las "y" en el valor de 4. Así que vamos por la última respuesta, la respuesta del inciso c, que dice, la ecuación en su forma estándar. Y la forma estándar es "ax" más "by" igual a "c", por lo tanto, que te va a parecer si de esta misma ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen, yo paso a la "x" del otro lado. Es decir, lo que voy a hacer aquí es sumar de ambos lados de la ecuación más 2/3 de "x", entonces, más 2/3 de "x" y aquí más 2/3 de "x" y lo que estoy haciendo es que se cancele la "x" del lado derecho de la ecuación y solamente me queda el término libre y entonces me queda, más 2/3 de "x" más "y", déjame ponerlo aquí.... ¡ay! creo que no me va a caber... aquí me va a caber, más 2/3 de "x" más "y", esto se pasa igual, 2/3 de "x", aquí le sumo "y", 2/3 de "x" más "y", estos dos valores se cancelan, -2/3 de "x" más 2/3 de "x" se va y me queda del otro lado 4. Y aquí ya lo tengo de su forma estándar, pero casi siempre se pone de la siguiente manera, para quitar este quebrado que tengo aquí, esto va a ser exactamente lo mismo que si yo multiplico todo por 3, recuerda que si lo que hago de un lado, lo hago del otro lado entonces la igualdad se conserva. Entonces voy a multiplicar todo por 3, para quitar esta fracción y me queda, 2/3 por 3 me da 2, 3 por "y" me da "3y" y 3 por 4 me da 12 y de esta manera ya se ve más clara la forma estándar de esta ecuación. Pues aquí ya no tengo fracciones y se ve quien es a, b y c.