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Fórmulas explícitas y recursivas para sucesiones geométricas

CCSS.Math:
HSF.BF.A.2
,
HSF.LE.A.2

Transcripción del video

en esta tabla de aquí nos da un montón de entradas en la parte superior al 1 2 3 4 y también tenemos a la correspondiente gdn lo que quiero que notes a continuación es que esta función cdn define una sucesión donde n es el término de la asociación por ejemplo podemos decir que esta tabla es la misma cosa que la siguiente sucesión imagínate tomate la sucesión en el cual el primer término 368 168 el segundo término serían 84-84 el tercer término 4242 el cuarto terminó 21 21 y así podríamos seguir y seguir y seguir y bueno ahora la pregunta va a ser qué tipo de sucesión es ésta observa si empezamos en el 168 cómo pasamos del 168 al 84 bueno una forma de pensar no sería decir lo que hicimos fue restar 84 pero la forma adecuada de pensarlo es que multiplicamos por un medio multiplicamos por un médium date cuenta que si ahora queremos ver qué pasó del 84 al 42 también multiplicamos por un medio y de la misma manera del 42 al 21 lo que hicimos con multiplicar por un medio así que esto que tenemos aquí es una sucesión geométrica es decir empezamos con un término y cada término siguiente es el término previo x algo que llamamos razón común en este caso estamos multiplicando por la razón común de un medio así que ahora la pregunta sería cómo podemos escribir a gdn es decir cómo podemos definir explícitamente en términos de m&a gdn y te encargo que pausas el video y piensas en cómo hacerlo así que lo que queremos construir es un g un jefe n igual y bueno tomando la de iniciando una función que escriba lo que está sucediendo aquí es decir empezar en 168 y después están multiplicando por un medio así que es momento de que lo pienses bueno pues una forma de pensar lo es empezar aquí en 168 en 168 ya esté multiplicarlo por un medio cierto número de veces es decir puedes ver que en el exponente vamos a poner las veces que vamos a multiplicar por un medio y cuántas veces tenemos que multiplicar por un medio bueno pues vemos que en el primer no tuvimos que multiplicar por un medio ser veces en el segundo término tuvimos que multiplicar por un medio sólo una vez en el tercer término tuvimos que multiplicar por un medio una o dos veces ya que el cuarto terminó tuvimos que multiplicar por un medio una dos tres veces así que si te das cuenta cada término que tengamos los tenemos multiplicando por un medio el número de término menos una vez es decir en menos uno y tú puedes ver que esto funciona porque cuando me vale uno me quedaría 1 - 1 lo cual es cero un medio elevado el acero es uno y 188 por uno me daría 168 cuando en el baile dos me quedaría 2 - 1 lo cual es uno y entonces estaríamos multiplicando a 188 por un medio una vez y llegaríamos a 84 sienna vale 3 me quedaría bueno 3 - 1 los cuales 2 y entonces estaríamos multiplicando al 168 por un medio elevado al cuadrado o dicho de otra manera estaríamos multiplicando dos veces 668 por un medio así que esto suena a que realmente funciona esta expresión esta sería la función escrita de manera explícita ahora también lo puedes ver de otra manera puede decir que gbn y solamente voy a usar un poco de manipulación algebraica es lo mismo que bueno es que lo pasa arriba me quedaría 168 entre entre dos elevado a la n 1 lo único que estoy haciendo es escribir la misma expresión de otra manera usando un poco de álgebra otra forma de verlo sería la siguiente decir que ve en que es igual y bueno usando las propiedades de los exponentes podremos ver vamos a escribir primero es de 168 168 y ahora quiero que te des cuenta de qué va a pasar con esta parte kim tengo un medio elevado a la en el -1 lo cual tú sabes que es lo mismo usando propiedad de los exponentes que un médium elevado a la enésima por un medio elevado a la -1 ahora date cuenta de lo siguiente un medio elevado al menos uno está aquí es exactamente lo mismo que quedó 2 entonces no podemos escribir de la siguiente manera esto me va a quedar como 168 que multiplica a un medio elevado la n que multiplica a dos entonces ahora sí puedo decir que esto va a ser igual y date cuenta lo siguiente si yo multiplico 188 x 2 entonces me va a quedar a 188 x 2 es 336 160 x 23 320 +16 336 336 que multiplica a un medio elevado a la n es decir que esta forma es equivalente a esta otra forma que también es equivalente a esta otra forma las tres son expresiones equivalentes y tal vez ésta se pueda ver un poco más intuitiva por qué decimos que ven es igual a la cantidad inicial con la que empezamos por un medio elevado a él que sea el término menos uno pero está acá es algebraica mente equivalente así que bueno pues estas tres son correctas ahora bien también podemos definir a esta misma gtn de forma recursiva así que te encargo que pausas el video y lo intentes bueno pues hagámoslo jefe en en forma recursiva como lo podremos poner dejan escribirlo así cd n bueno va a ser una función y vamos a tomarnos la de manera recursiva así que fíjate lo siguiente cuando en avale uno si le vale uno si n vale 1 bueno pues nosotros sabemos que esta función toma el valor de 168 -que ahora pensemos qué va a pasar cuando en él es más grande que uno si el cne es más grande que uno y bueno recuerda que estamos usando números naturales y es un número natural y eso número natural es decir estamos pensando en los enteros positivos bueno pues en este caso que vamos a tener bueno pues vamos a tomarnos un medio un medio y éste un medio lo vamos a multiplicar por g de bueno del número anterior gdn -1 así lo vamos a definir y puedes verificar que esto funciona porque si tienes uno bueno entonces simple y sencillamente empezamos en 168 lo cual lo sabíamos y qué va a pasar si en la b2 bueno pues g2g de dos va a ser igual a un medio deje de 107 1 168 638 lo multiplicó por un medio llegó a 84 así que vamos bien qué va a ser de 3 bueno pues gt3 va a ser un médium cd2 lo cual sería bueno aquí tenemos que de 284 y si lo multiplicamos por un medio llegamos a gd tres así que estamos bien ésta sería nuestra forma explícita de definir esta sucesión mientras que ésta es nuestra forma recursiva de definir esta sucesión