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Evaluar sucesiones en la forma recursiva

CCSS.Math:
HSF.IF.A.2

Transcripción del video

esta vez tenemos la función g por aquí y lo que quiero que hagas es para usar el video y que averigües cuánto vale g de 1 g de 1 g de 2 g de 2g 3g de 3 y de 4 g de 4 así que es momento de que pausas el vídeo y los resuelvas por ti mismo ok ahora trabajemos esto juntos queremos que de uno estás de acuerdo veamos si n es igual a 1 bueno pues que va a valer 4 justo estamos en este caso en donde n es igual a 1 y si en es igual a 1 entonces g de uno va a valer 4 esto estuvo muy fácil ahora veamos que de 2g de 2 bueno si n vale 2 entonces date cuenta que caemos en este caso 2 es más grande que uno y es un número natural es decir un número entero positivo por lo tanto vamos a usar este caso que es mucho más interesante porque date cuenta que la función no está definida en términos de n en este caso estamos definiendo la función en términos de g dn menos uno así que si n baleados entonces tenemos que evaluar g de dos y para evaluar g de todos nos quedaría g de dos menos uno lo cual es g de uno aquí me quedaría de 13.2 más 3.2 y cuánto será esto bueno pues que de uno ya lo sabemos que de uno es igual a cuatro lo acabamos de descubrir aquí arriba recuerdas y bueno 43.2 es lo mismo que 7.2 perfecto es hora de seguir con ge de tres y que de tres a cuánto va a ser igual bien pues note que regresamos a este caso de nuevo porque 3 es más grande que 1 y 13 es un número natural por lo tanto que de 3 va a ser igual a g de 3 menos uno que es g de 292 más 3.2 más 3.2 pero date cuenta que g de dos ya lo sabemos lo tenemos justo acá arriba recuerdas que de 27.2 y bueno 7.2 más 3.2 es lo mismo que 10.4 así que vayamos a g de 4 y bueno volvemos a caer en este caso así kg de 4 va a ser lo mismo que g de 3 kg de 3 + 3.2 más 3.2 pero que de 3 lo averiguamos acá arriba era lo mismo que 10.4 por lo tanto 10.4 más 3.2 es 13.6 y bueno al tate cuenta que esto es bastante interesante porque puedes pensar esta función g como una función definida en todos los enteros positivos y porque está definida en todos los sentidos positivos bueno porque estamos definiendo una sucesión y aquí podemos ver la sucesión es la siguiente la sucesión bueno si te das cuenta su primer término es 4 así que lo voy a poner aquí 4 su siguiente término sería 7.27 punto 2 después sigue 10.4 10.4 su tercer término después 13.6 el cuarto término es 3.6 y así te puede seguir mantener y manteniendo y manteniendo sacando más términos de esta sucesión ahora bien lo que quiero que notes es qué está pasando con esta sucesión bueno pues empezamos con un valor de 4 que es justo lo que tenemos aquí cuando n vale 1 g de 1 vale 4 y entonces nuestra función toma este valor y ahora por cada término después de éste tomamos el término previo y le vamos a sumar 3.2 por lo tanto de aquí para acá lo que hicimos fue agregar 3.2 de aquí para acá lo que hicimos fue agregar 3.2 de aquí para acá también agregamos 3.2 3.2 y así nos podemos mantener sumando 3.2 de hecho ahora podemos definirlo de esta manera porque tenemos un primer término que es 4 y agregamos 3.2 para encontrar cada siguiente término y esta es una forma muy interesante de definir esta función es una forma de definirla porque es un funcional hebraica es decir una función que está definida sobre todos los entre los positivos y en donde tenemos un caso base el cual nos da el primer término justo esto de aquí y después tenemos los otros casos que van a estar definidos en términos de la función que tú vas a tener en una recursión hacia atrás que eventualmente va a hacer que regreses al caso base y por eso llamamos a esta función una función recursiva así que déjame escribirlo por acá arriba esta es una función función recursiva si va y de hecho justo en este ejemplo podemos ver como nuestra función recursiva nos ayuda a definir nuestra sucesión actual y bueno podemos ir en esta dirección pero también podemos ir en dirección contraria podríamos decir no sea averiguar cuánto es el valor de g de 6 se me ocurra 76 y bueno si queremos saber el valor de g de 6 entonces esto es lo mismo por la función que gt5 más 3.2 estás de acuerdo de 5 3.2 cuánto vale g de 5 bueno pues que de 5 usando la definición de la función es lo mismo que ge ge de 43.2 estás de acuerdo más 3.2 y así podremos seguir retrocediendo y retrocediendo y retrocediendo pero pues ya sabemos cuánto me aleje de 4 así que vamos a usarlo en esta ocasión gt4 es 13.6 13.6 ahora 13.6 + 3.2 es 16.8 de lujo g de 56.8 así que vamos a usarlo para obtener g de 676 va a ser 16.8 + 3.2 lo cual es 20 de lujo así que podríamos empezar con g de 6 él nos regresa bando y regresando y regresando y regresando hasta llegar al punto en que tengamos a que de 1 es decir a nuestro caso base el cual sabemos su valor y con él seremos capaces de llenar todos los demás espacios vacíos bien ahora veamos un par de ejemplos más sobre este mismo tema voy a bajar la pantalla y vamos con este de aquí tenemos esta función de aquí y digamos que esta función define una sucesión así que pongamos los cuatro primeros términos de esta sucesión y te encargo que pausa el vídeo e intente resolverlo por ti mismo ok manos a la obra tengo que h de 1h de 1 quien va a ser bueno eso es muy sencillo porque nos dan justo aquí si n vale 1 hd uno va a ser 14 así que h de uno toma el valor de 14 de lujo ahora pensemos en hd 2 bueno pues hd2 va a hacer pues date cuenta que ahora entramos en este caso porque 2 es más grande que 1 y 2 es un número natural entonces nos quedarán que hd2 va a ser igual a 28 entre h de 1 entre h de 1 pero sabemos cuánto vale h de 1h de unos 14 por lo tanto me va a quedar 28 entre 14 y esto me va a dar de respuesta 2 de lujo ahora pensemos en hd 3 h de 3 bueno esto va a ser lo mismo que date cuenta que volvemos a caer en este caso porque 3 más grande que uno y es un número natural entonces me quedaría 28 28 entre hd 2 entre el hd2 pero nosotros ya sabemos cuánto vale hd 2 hd 2 es 2 por lo tanto me va a quedar 28 entre 2 y esto es lo mismo que 14 es decir que esta sucesión es bastante interesante donde el término previo está dividiendo al número 28 así que tenemos que 28 entre 12 14 y algo muy interesante está pasando por aquí y creo que tú empiezas a ver cuánto va a ser hd4 bueno pues hd 4 es lo mismo que me recuerda que hemos de nuevo en este caso me va a quedar 28 28 entre h de 3 pero nosotros ya sabemos cuánto vale hd3 esto me va 28 entre 14 recuérdalo este de aquí es h 3 no lo olvides y entonces regresamos de nuevo al 2 ahora observa lo que está pasando porque si pensamos esto como una sucesión me va a quedar lo siguiente tengo que el primer término es 14 después tengo el segundo término el cual es 2 el tercer término va a ser 14 el cuarto término va a ser 2 y bueno así se mantiene y lo que quiero que veas es que esta sucesión es una sucesión de términos que se van alternando entre el 14 y el 2 14 2 14 2 todos los términos impares de esta sucesión serán 14 y los pares serán 2 bueno esa es otra forma de pensarlo y la otra forma de pensarlo es que empezamos en 14 y después cada término sucesivo es 28 dividido por el término premium es decir que tenemos 28 entre 14 lo cual me va a dar 2 y después vamos a tener 28 entre 2 lo cual me va a dar 14 28 entre 14 28 22 14 y seguimos seguimos seguimos esto es justo lo que no está diciendo esta parte de aquí muy bien así que vayamos a hacer otro ejercicio más para terminar este vídeo déjenme bajar un poco la pantalla y ahora vamos a trabajar con este ejercicio de aquí en el cual date cuenta que nos dan dos casos bases así que pensemos lo un poco no sé se me ocurre que queremos esta vez averiguar el valor de f de 4 de f de 4 muy bien date cuenta que cuando el nivel de 4 caemos en este caso en es más grande que 2 y en es un número natural y por lo tanto bueno nos va a quedar que f de 4 es lo mismo que efe de n 1 lo cual me va a quedar efe de 4 menos uno que es f de 3 más efe dn 24 - 22 entonces también quiero a efe de dos ahora sería muy bueno averiguar cuánto vale f de 3 así que vamos a hacerlo efe de 3 y observa que de nuevo que hemos en este caso 32 y número natural y por lo tanto me va a quedar que efe de 3 es lo mismo que f de 3 - 1 lo cual es de 2 más efe de 3 - 2 lo cual es efe de 1 ahora si queremos saber cuánto vale entre 2 bueno pues ten cuidado porque ahora caemos en este caso base en esta ocasión tenemos dos casos bases y si n vale 2 entonces efe de 2 toma el valor de menos 4 por lo tanto efe de 2 es igual a menos 4 muy bien y si queremos el valor de f1 bueno pues también caemos en un caso base estamos justo aquí si n vale 1 f1 es menos 6 y entonces lo voy a poner aquí menos 6 del lujo en esta ocasión tenemos dos casos base y es importante que los notes aquí estos son nuestros casos casos base base y estos casos base están definidos en términos de la función y los necesitas porque de otra forma tú estarías en la reclusión hacia atrás para siempre y nunca obtendrías estos números tangibles así que son muy importantes los casos base y vamos a utilizarlos porque si queremos definir esta sucesión entonces lo que voy a obtener es lo siguiente - 6 este st de 1 después me va a quedar menos 4 este es f 2 y después me va a quedar efe de tres pero efe de tres está detenido como jefe de dos más efe de uno lo cual va a ser menos 6 menos 4 y esto es menos 10 efe de 3 es menos 10 y después efe de 4 está detenido como la suma de los dos anteriores es decir efe de 3 más efe de 2 y el que me quedarían menos 10 menos 4 lo cual es menos 14 entonces aquí tengo menos 14 y así podemos seguir y seguir y seguir seguir lo importante de este vídeo y de hecho el punto al que yo quería llegar es lo siguiente quiero que notes que las funciones recursivas pueden definir sucesiones y además quería que te familiarizarás con estas funciones recursivas