Razonar con sistemas de ecuaciones

En un video anterior hablamos sobre la noción de  equivalencia en ecuaciones, y la equivalencia es   sólo esta noción de que hay diferentes formas de  escribir enunciados equivalentes en álgebra. Y   puedo dar algunos ejemplos sencillos, puedo  decir que 2x = 10 o puedo decir que x = 5,   estas son ecuaciones equivalentes, ¿por qué lo  son? Porque un valor de x satisface a una de   ellas si y sólo si ese valor satisface a la otra,  y puedes verificar que en ambos casos x = 5 es el   único valor de x que satisface a ambas. Otro  conjunto de ecuaciones equivalentes es 2x = 8   y x = 4; estas dos son ecuaciones equivalentes:  un valor de x satisface a una ecuación si y sólo   si satisface a la otra. En este video vamos a  extender nuestro conocimiento de equivalencia para   pensar en sistemas equivalentes, y en realidad,  antes, cuando resolvías sistemas de ecuaciones,   realizabas operaciones suponiendo equivalencia,  pero es posible que no lo hayas pensado de esa   manera. Así que planteemos un sistema, digamos que  este sistema nos dice que existe un par xy donde   2x + y = 8 y que x + y = 5. Ahora podemos tener  un sistema equivalente si reemplazamos cualquiera   de estas ecuaciones con una versión equivalente.  Entonces, por ejemplo, muchos de ustedes, cuando   tratan de resolver esto, podrían decir: "Bien, si  esto fuera un 2x negativo, tal vez podría sumar   el lado izquierdo", y hablaremos de por qué esta  es una operación que mantiene la equivalencia,   pero para obtener un 2 negativo aquí tendrías que  multiplicar esta ecuación entera por 2 negativo.   Entonces, si haces eso, si multiplicas ambos lados  por 2 negativo, lo que obtendrás es 2x negativo   -2 y = 10 negativo. Esta ecuación y esta ecuación  son equivalentes, ¿por qué?, porque cualquier par   xy que satisfaga a una de ellas satisfará a la  otra, o un par xy satisface a una si y sólo si   satisface a la otra. Entonces, si ahora pensamos  en el sistema, este sistema donde reescribí esta   segunda ecuación, y mi primera ecuación es la  misma, es un sistema equivalente a nuestro primer   sistema. Entonces, cualquier par xy que satisface  uno de estos sistemas va a satisfacer al otro y   viceversa. Ahora, la próxima cosa interesante que  podrías darte cuenta, y si sólo estabas tratando   de resolver esto, ojo: este no es un video  introductorio en la resolución de sistemas, estoy   suponiendo que estás familiarizado con el tema,  probablemente hayas visto el método de eliminación   donde dices: "Bien, si de alguna manera puedo  sumar el lado izquierdo al lado izquierdo y el   lado derecho al lado derecho, las x se cancelarán  y al final me quedaré con las y, y ya hemos hecho   esto antes, es intentar despejar y", pero en este  video quiero que pensemos por qué terminas con un   sistema equivalente si fueras a hacer eso. Y una  forma de crear un sistema equivalente es mantener   mi primera ecuación 2x + y = 8, pero luego tomaré  mi segunda ecuación y sumaré lo mismo en ambos   lados. Sabemos que si sumas o restas lo mismo a  ambos lados de una ecuación obtienes una ecuación   equivalente, así que voy a hacer eso por aquí, va  a ser algo interesante. Si tienes 2x negativo -2   y = 10 negativo, y lo que quiero hacer es sumar 8  a ambos lados, puedo hacerlo así: sumar 8 en ambos   lados, pero recuerda que el sistema establece que  ambas afirmaciones son verdaderas, que 2 x + y = 8   y que 2x negativo - 2y = 10 negativo, entonces, en  lugar de sumar explícitamente 8 en ambos lados,   podría sumar algo que es equivalente a 8 en ambos  lados, y conozco algo que es equivalente a 8 con   base en esta primera ecuación. Puedo sumar 8 y  puedo sumar 8 en el lado izquierdo, o puedo sumar   2 x + y. Y ahora te pido que pauses el video y te  preguntes: ¿cómo puedo resolver esto?, ¿por qué me   dicen que estoy sumando lo mismo en ambos lados?  Porque recuerda que cuando tomamos un sistema,   suponemos que ambas ecuaciones tienen que ser  verdaderas. Un par xy satisface una ecuación   si y sólo si satisface a la otra. Entonces, aquí  sabemos que 2x + y debe ser igual a 8, por lo que,   si estoy sumando 2x + y a la izquierda y estoy  sumando 8 a la derecha, en realidad sólo estoy   sumando 8 en ambos lados, y esto preserva la  equivalencia, y cuando haces eso obtienes que   2x negativo y 2x se cancelan y queda y negativo  igual a 2 negativo; y así puedo reescribir esa   segunda ecuación como y negativa = 2 negativo. Y  sé lo que estás pensando: cuando resuelvo sistemas   de ecuaciones estoy acostumbrado a sumar estos  dos juntos y luego tengo esta ecuación, y esto   no es muy riguroso matemáticamente, porque la otra  ecuación sigue ahí, sigue siendo una restricción,   a menudo resuelves una y luego la sustituyes  en la otra, pero en realidad ambas ecuaciones   están ahí todo el tiempo, simplemente las estás  reescribiendo de manera equivalente. Entonces,   una vez más, este sistema, este sistema y este  sistema son equivalentes, cualquier par xy que   satisfaga a uno lo satisfará a todos y viceversa.  Y una vez más podemos seguir reescribiendo esto de   maneras equivalentes, puedo multiplicar ambos  lados de la segunda ecuación por 1 negativo,   eso es preservar la equivalencia, y si hago eso  obtengo 2x + y = 8, no he cambiado la ecuación   superior; y en la segunda ecuación, si multiplico  ambos lados por 1 negativo, obtengo que y = 2,   de nuevo todos estos son sistemas equivalentes. Sé  que suena muy repetitivo en esto, pero ahora puedo   hacer otra cosa para mantener la equivalencia  y al mismo tiempo tener una idea más clara de   cuál es este par xy. Si sabemos que y = 2 y sabemos  que esto se cumple en ambas ecuaciones, es decir,   se cumple en una y se cumple en la otra, y  suponemos que hay un par xy que satisface a   ambas ecuaciones, 2x + y = 8, y además y = 2, y  sabemos que esto se cumple en ambas ecuaciones.   Entonces quiere decir que cuando vemos una y aquí  arriba, podemos escribir un sistema equivalente en   donde en lugar de escribir y escribimos un  2, porque sabemos que y = 2, y así podemos   reescribir esta ecuación superior sustituyendo  2 en lugar de y, por lo que podemos reescribir   esto como: 2x + 2 = 8, y = 2. Aquí tenemos  que ambas se cumplen, y, por supuesto, podemos   seguir desarrollando esto. Voy a hacer un poco de  espacio. Puedo escribir otro sistema equivalente   a este haciendo operaciones que mantengan la  equivalencia de la ecuación superior. ¿Qué pasa   si resto 2 en ambos lados de la ecuación superior?  Todavía va a ser una ecuación equivalente y podría   reescribirla así, ya que si resto 2 en ambos lados  obtendré 2x = 6. Nota que esta segunda ecuación   no ha cambiado: y = 2, entonces hay un par xy  que si satisface a una satisface a la otra y   viceversa. Este sistema es equivalente a todos los  sistemas que he escrito hasta ahora en esta cadena   de operaciones, por así decirlo, y luego, para la  ecuación superior, una operación que mantiene la   equivalencia es dividir ambos lados entre un valor  distinto de 0, y en este caso podría dividir ambos   lados entre 2, si divido la parte superior  entre 2 queda x = 3 y y = 2. Y una vez más,   esta es una forma diferente de pensarlo: todo  lo que estoy haciendo es reescribir el mismo   sistema de manera equivalente, que nos sirva  para encontrar el par xy. En el pasado podrías   haber supuesto que podías sumar ambos lados de una  ecuación o hacer este tipo de eliminación o algún   tipo de sustitución para simplemente encontrar x y  y, pero realmente estás reescribiendo el sistema,   estás reescribiendo las restricciones  del sistema de maneras equivalentes   para ser explícito cuál es ese par xy que  satisface a ambas ecuaciones en el sistema.