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Intuición acerca del área de un círculo

Uso de triángulos para crear un argumento informal para la fórmula del área de un círculo.

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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es desarrollar un argumento informal de por qué la fórmula para el área de un círculo es y por radio al cuadrado y vamos a empezar con la definición tradicional del número pi y esto es la razón verdad de la circunferencia la razón de la circunferencia dividido entre el diámetro verdad o lo que es lo mismo porque el diámetro en realidad es dos veces el radio verdad entonces esto será igual a la proporción que hay entre la circunferencia y el doble del radio y si multiplicamos por dos r de ambos lados verdad entonces obtenemos la fórmula clásica para la circunferencia esto es que la circunferencia será igual a dos pi por radio verdad no hacerlo un poquito mejor dos pi por radio entonces esto es para la circunferencia de un círculo pero lo que veremos en este vídeo es un razonamiento intuitivo verdad de por qué en la fórmula del área del círculo está dada por pi por radio al cuadrado y para llegar a ello vamos a aproximar por área de polígonos inscritos en ese círculo muy bien entonces por ejemplo aquí tenemos un polígono verdad y éste tiene 12 345 lados tenemos 5 lados entonces su área será igual a 5 veces el área de cada uno de estos triángulos verdad entonces tendremos 5 por el área de cada triángulo y el área de cada triángulo se puede calcular fácilmente verdad es simplemente la base por la altura sobre 2 la base mide b y la altura es a entonces esto será a x b dividido entre 2 verdad así que hasta este momento estamos estimando el área del círculo verdad por debajo de su valor real y podemos ver que por supuesto hay pedazos fuera del polígono que siguen estando dentro del círculo y por eso es que estamos estimando lo por el por debajo del valor real verdad pero a medida que aumentamos el número de lados vemos que dejamos menos área fuera verdad por ejemplo fijémonos aquí aquí tenemos estos pedazos que cada vez son más y más pequeños verdad tenemos pedazos más pequeños entonces tenemos mucha menos área que la que estamos dejando por ejemplo en este otro caso verdad entonces en el caso que tenemos aquí en medio vamos a contar son 1 2 3 4 5 6 7 lados entonces vamos a tener 7 veces vamos a multiplicar siete veces verdad el área de cada uno de estos triángulos y el área nuevamente es en la altura por la base dividido entre dos muy bien entonces tendremos 7 x de dividido entre dos y por supuesto el valor de a que tenemos aquí no es exactamente el mismo que el que tenemos acá tampoco el valor de b que tenemos aquí es el mismo para el que tenemos de este otro lado verdad entonces notemos justamente que al aumentar el número de triángulos entonces estamos mejorando la estimación del área verdad pero además de eso el valor de a se hace más largo verdad aquí era más corto que lo que es aquí de hecho el valor de a como podemos ver se va aproximando al valor del radio a r verdad ahora qué pasa con 7 por b ya hablamos de a vamos a ver qué pasa con 7 por b bueno pues podemos notar fácilmente que 7 por b es el perímetro de nuestro polígono verdad entonces aquí tenemos 1 34 5 6 y finalmente 7 verdad aquí son 7 lados y cada uno de ellos mide de entonces 7 veces ve es el perímetro de nuestro polígono es verdad así que vamos a escribir esto 7 por ver en realidad es el perímetro el perímetro del vamos a escribirlo bien el perímetro de él del polígono muy bien el perímetro del polígono muy bien entonces ahora retomemos el caso de a verdad este valor a dijimos que se aproxima se aproxima al valor de r verdad el valor de r que es el real el radio mientras que el perímetro del polígono podemos observar que se va acercando al valor de la circunferencia verdad entonces este de aquí se aproxima se aproxima la circunferencia a la circo conferencia con fe herencia muy bien y quizás todo esto queda más claro si nos vamos al ejemplo que tenemos aquí tenemos un polígono que tiene 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 triángulos es decir tiene 10 lados este polígono verdad entonces el área de todo este polígono será 10 veces el área de cada uno de estos triángulos verdad el área de este triángulo por ejemplo que será a x b dividido entre 2 verdad o lo puedo escribir también como b por a b por a dividido entre 2 muy bien entonces en realidad aquí estamos simplemente calculando el área de cada uno de estos triángulos y multiplicarlo por el número de triángulos que tenemos muy bien y aquí es muy claro cómo es que el valor de a se va aproximando cada vez más al valor del radio de la circunferencia y como diez veces ve verdad el perímetro del polígono se va aproximando a la circunferencia de este círculo entonces qué pasa si queremos calcular digamos el caso general qué pasa si queremos aproximar el área por un polígono de n lados entonces simplemente tendremos en el lados por b que multiplica a entre 2 verdad a entre 2 y esta fórmula no debe ser nada mística verdad simplemente aquí estamos calculando el área de cada triángulo y lo estamos multiplicando por el número de triángulos que tenemos entonces la pregunta que ahora nos surge es qué pasa cuando n tiende a infinito cuando el número de lados se aproxima a infinito es decir qué pasa si empezamos a incrementar lados y lados y más lados bueno pues ya dijimos que el valor de a se aproxima al valor del radio y también dijimos que n b n b es el valor del perímetro del polígono este se aproxima a la circunferencia pero nosotros sabemos muy bien cuánto vale la circunferencia esto es 2 pi por r eso quiere decir que n por b se aproxima al valor de 2 pi por r muy bien así que qué es lo que va a ocurrir con el área la pregunta es qué es lo que va a ocurrir con el área el área entonces cuando cuando el número de lados de este polígono tiende a infinito entonces esto va a atender a n por b que es 2 pi por r es a donde va a tender nb2 pi por r también tenemos que atiende a r verdad entonces esto tiende a r y luego tenemos que dividir entre 2 muy bien entonces simplemente si simplificamos en los dos se pueden cancelar y nos queda pi por radio al cuadrado muy bien así que a medida que nos aproximamos a tener un número infinito de triángulos verdad un polígono de digamos de una infinidad de lados verdad si tiene tiende a infinito entonces nos aproximamos al área del círculo nos aproximamos al área del círculo este vale pi por radio al cuadrado verdad esto sería el área el área d un círculo de un círculo de un círculo de radio r muy bien entonces este es un argumento informal de por qué nos aproximamos a pi por radio al cuadrado que es el área de un círculo y puedes pensarlo como como el área de un polígono con una infinidad de lados y que ese sería el área del círculo