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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:14:16

Demostración del teorema del ángulo inscrito

CCSS.Math:
HSG.C.A.2

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es probar uno de los resultados más útiles para geometría de ángulos en la circunferencia dice lo siguiente dice que la medida de un ángulo inscrito un ángulo inscrito simplemente es un ángulo que tiene un vértice sobre la circunferencia entonces la medida de un ángulo digamos de este estilo no voy a poner algo así esta medida que le vamos a llamar si puede utilizar la letra griega si para las medidas de ángulos inscritos entonces el resultado dice que si la medida de este ángulo es igual a la mitad de la medida del ángulo central que abre el mismo arco hay un montón de palabras sofisticadas pero la idea es muy simple dice lo siguiente dice nos fijamos en el en el arco que define este ángulo inscrito o sea aquí hay dos puntos esos dos puntos definen este arco este arco de la circunferencia y ese arco de la circunferencia define un ángulo central deja de pintar el ángulo central en color azul esté acá estoy acá entonces lo que dice este resultado es que si este ángulo central mídete está entonces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central o sea si es igual a un medio un medio de eta sin importar cual han inscrito sea eso está súper impresionante y después va a ser útil para muchos otros resultados lo que vamos a hacer en este vídeo es mostrar por qué siempre sucede déjame empezar con un caso sencillo voy a borrar esto y voy a empezar con el siguiente caso el caso es cuando uno de los lados uno de los lados del ángulo inscrito pasa justo por el centro de la circunferencia algo más o menos de este estilo sale entonces éste sería uno de los lados del ángulo y el otro vamos a pintar lo digamos por acá algo de este estilo déjame marcar que estoy aquí me de pepsi y de pepsi y en este caso vamos a observar lo siguiente de aquí el vértice del ángulo al centro de la circunferencia es un radio pero también de este de este punto del centro de la conferencia a esté acá tenemos un radio porque justo este punto está sobre la circunferencia y las circunferencias el lugar de los puntos aún a una misma distancia de un centro entonces si éste se re estoy acá también se re bueno si este cierre y este cierre este triángulo es un triángulo isósceles y cómo este ángulo me decís si este ángulo de acá también mide si también ni de si a lo mejor estás acostumbrado a verlo de otra forma o sea si tenemos un triángulo así verdad donde éste mide lo mismo que éste entonces este ángulo este ángulo mide lo mismo que este ángulo de acá pero bueno el chiste es que pudimos pasar este ángulo si para acá y ahora vamos a poner aquí el ángulo teta que nos interesa el ángulo de eta porque justo justo el arco que abre el ángulo inscritos esté acá arriba esté acá arriba y por lo tanto el ángulo central correspondiente dice que acabó el que acabó de marcar como teta esté acá vale entonces nos gustaría ver que te está es el doble de si bien que si me de la mitad dt está bueno si estoy aquí es teta esté acá por ser suplementario mide 180 grados - zeta pero ahora vamos a utilizar que la suma de los ángulos internos de un triángulo de 180 grados entonces tendríamos que si mas sí o sea dos veces y más 180 menos teta 180 grados - teta es igual a 180 grados otra vez esto es por la suma de los ángulos internos de un triángulo cancelamos 180 con 180 y nos queda que dos veces si dos veces sí - zeta - teta es igual a cero o bien ya lo voy a poner en color verde que dos veces si es igual a teta y eso es justo lo que queríamos bueno es lo que queríamos después de dividir entre dos o sea más bien antes de dividir entre dos dividiendo entre dos nos queda que si es igual a te está dividido entre dos vale la medida del ángulo inscrito en la mitad del ángulo central o bien el ángulo central del doble que el inscrito pero pero hasta ahorita sólo es para un caso sencillo verdad para el caso en el cual este lado uno de los lados podemos pensarlo como como rayo uno de los rayos que define el ángulo pasa por el centro de la circunferencia todas formas esto es bastante bueno verdad sea por ejemplo si supiéramos que éste está mi de 60 grados entonces sabíamos que si es de 30 grados es de 30 grados y así ya podríamos resolver varios problemas pero nos gustaría también poder mostrar este resultado para cuando tenemos otro tipo de ángulos así que déjame déjame borrar y vamos a hacer otro caso más ahora vamos a hacer el caso en el cual el ángulo el ángulo inscrito contiene al centro de la circunferencia es decir queda más o menos como algo de este estilo vale algo de este estilo y después vemos el último caso bueno en este caso déjame déjame marcar todo lo que nos interesa este ángulo acá es si aquí tendríamos el arco que ya no lo voy a pintar pero bueno ahí tendríamos el arco que define este ángulo inscrito acá tendríamos el ángulo teta que es el ángulo central correspondiente eta y nos gustaría ver otra vez que te está es el doble de sí o que si es la mitad de eta pero ya sabemos cómo hacerlo cuando uno de los lados del ángulo es el diámetro entonces vamos a aprovechar eso y vamos a dibujar un diámetro que pase por el vértice y por el centro vale así entonces observa que tanto rossi como teta quedan divididos en dos ángulos que corresponden al caso que ya teníamos está muy padre verdad déjame marcar lo más explícitamente o sea este ángulo si queda dividido aquí en un ángulo ángulo pge y uno si no voy a poner un poco más bonitos y uno y de este lado un ángulo pge y dos y dos y del otro lado o más bien aquí donde están los ángulos centrales de eta queda dividida en un ángulo teta 1 y un ángulo teta 2 y ahora podemos aplicar lo que ya mostramos en el caso anterior como tenemos que este ángulo este ángulo de acá tiene uno de sus lados pasando por el centro entonces z1 eta uno a uno es igual a dos veces si uno o dos veces si uno y de manera similar teta dos estados voy a ponerlo más a la izquierda para que quede más alineado es igual a dos veces dos veces sí dobbs otra vez esto lo podemos asegurar porque también este ángulo que quedan ahora de este lado tiene uno de sus lados que pasa por el centro vale bueno vamos a sumar estas dos igualdades si las sumamos tenemos que te está uno más tentados es igual a dos veces si uno más dos veces si dos déjame factorizar el 2 2 veces si uno más si dos vales simplemente factor hice el 20 está padrísimo porque estoy acá ante tan nomás de tazos éste está el ángulo central con el que habíamos iniciado es igual a dos veces estoy acá pero esta suma si uno más si dos es si el chelsea original igualados si y por lo tanto dividiendo entre dos de ambos lados tenemos que si es igual a teta teta entre dos entonces con eso completamos también este caso en el cual el centro queda en el interior del ángulo inscrito ya nada más nos falta un caso cuando el centro queda fuera de este de este ángulo vamos a hacerlo vamos a eliminar lo que pudimos y vamos a poner ahora un ángulo de los que faltan que sería algo más o menos así un ángulo de este estilo no tiene al centro en su interior vale por aquí tenemos este punto este punto este ángulo de acá que nos interesa es si el ángulo central a tiene que abrir este mismo art o entonces nos quedaría así éste con éste vamos a ponerle que éste mide teta y nos gustaría ver como siempre que te estás el doble de sí o pepsi es la mitad dt está bueno este caso también tiene un truco similar a la anterior como sabemos cómo se comportan estos ángulos cuando cuando trabajamos líneas por dhea metros justo vamos a trazar una línea a línea que sea un diámetro la línea de estilo que pase por el centro pues entonces al hacer esto se nos forman dos ángulos dos ángulos los cuales uno de los lados pasa por el centro este ángulo de acá y este ángulo de acá vale deja de llamarle a este ángulo a este ángulo de acá si uno si uno observa que sean blog si uno abre este hallazgo abre este arco y por lo tanto el ángulo central correspondiente éste ya está qué vamos a llamarle teta 1 a 1 vale entonces aplicando el primer caso que vimos en sí uno y te está uno tenemos no voy a escribir por acá déjame ponerte está uno con otro color para para que sea un poco más fácil y siguiendo lo vamos a ponerlo en color rojo que está bueno vamos a ponerlo a sinama éste está eta uno vale entonces tenemos que te está uno es igual a dos veces si uno es igual a dos veces si uno vale eso es aplicando el primer caso en este ángulo de acá pero también podemos aplicar el primer caso en este ángulo de acá en este este ángulo con su ángulo central correspondiente que ahora sería esté acá estoy acá vale entonces ahí tendríamos que te está más te está uno de eta más te está uno a uno es igual al doble al doble de sí más si uno entonces vamos a ponerlo así más si una más si si uno desarrollando del lado derecho no me volveré a escribir lo tenemos teta más te está uno a uno es igual a dos veces si dos veces si más dos veces si uno más dos veces si uno si uno y sustituyendo teta uno aquí abajo tenemos que te está más dos veces si uno más dos veces si uno es igual a dos veces si dos veces si más dos veces si dos veces si uno y aquí podemos restar dos veces si uno de ambos lados y obtenemos justo lo que queríamos que te está eta es igual a dos veces si dos veces sí o bien si es igual a teta entre 230 entre 2 y listo con esto ya cubrimos todos los posibles casos que podíamos tener cuando cuando el centro pasa por el interior del ángulo cuando pasa por el exterior y cuando el centro está sobre uno de los lados del ángulo vale este resultado está muy interesante es muy sencillo es muy fácil de decir y además lo vamos a utilizar para seguir haciendo muchas más cosas en el círculo y para construir otro tipo de ángulos y encontrar otras propiedades vale nos vemos en siguientes vídeos