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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:5:35

Demostración: triángulos rectángulos inscritos en círculos

CCSS.Math:
HSG.C.A.2

Transcripción del video

supongamos que tenemos una circunferencia que en esta circunferencia trazamos un diámetro más o menos algo así algo así déjame indicar que es un diámetro estoy aquí es un diámetro diámetro y que tomamos otro punto más sobre la circunferencia o sea que caiga en la orillita un punto por ahí y que dibujamos este triángulo vamos a poner este lado y este lado de acá lo que vamos a mostrar es que no importa donde haya elegido este punto siempre y cuando éste sea un diámetro nos queda que el triángulo siempre va a ser un triángulo rectángulo déjame escribir eso por acá lo que vamos a ver es que este triángulo este triángulo siempre es un triángulo rectángulo vamos a probar esto déjame dibujar este segmento de acá porque eso va a ser útil y déjame indicar que este ángulo mide theta vamos a ponerle que este ángulo de acá me de teta bueno vamos a jugar un poco con los ángulos para ver qué pasa si este ángulo de acá me de teta como es un ángulo inscrito correspondiente a este ángulo central este ángulo de acá mide dos tetas dos teta son ángulos correspondientes o bueno este central es el correspondiente a este inscrito porque ambos abren este arco de acá vale este arco y este arco de acá y como vimos en vídeos pasados eso implica que el ángulo central mide el doble que el inscrito ahora notemos que este lado que voy a marcar en color rosa es un radio de la circunferencia y este lado de acá también es un radio de la circunferencia entonces si tomamos este triángulo es un triángulo isósceles déjame girarlo para que veas es un poco más claramente este lado lo voy a poner por acá este lado lo voy a poner por acá y este lado que es amarillo lo voy a poner por acá entonces esos dos lados que pintan en color rosa miden lo mismo por lo tanto sus ángulos correspondientes también son iguales este ángulo es igual a este ángulo de acá ahora aquí no tenemos un nombre para ese ángulo ya utilice teta así que déjame ponerle no sé digamos x este ángulo le vamos a poner x entonces justo como es un triángulo isósceles este de acá también es equis y a partir de esto podemos poner a equis en términos de teta usando la suma de los ángulos internos de un triángulo tenemos que x mas x + 2 teta es igual a 180 grados lo voy a poner por acá x más x más dos veces teta dos veces teta teta es igual a 180 grados 180 grados x x es igual a 2 x 12 x es igual a entonces me quedaría 180 grados menos dos veces teta reste dos tetas de ambos lados y dividiendo entre dos de ambos lados aquí se cancela este se cancela y éste nos quedan 90 grados de modo que x es el 90 que era un poco un poco escondido de modo que x es igual a 90 grados 90 grados menos theta vamos a pasar esto a la figura x es igual a 90 grados menos que está muy bien vamos a ver qué otra cosa podemos hacer en esta figura a ok tenemos que este es un radio y que este es un radio pero también el de acá es un radio porque también va del centro de la circunferencia a la orilla entonces este de acá también mide un radio de todos estos son iguales a un radio de modo que este triángulo de acá también es y sociales de hecho eso es algo que utilizamos cuando mostramos que el central media el doble del inscrito entonces si éste si sos el es este ángulo theta es igual a este ángulo teta de acá este ángulo teta de acá sale y entonces ya podemos calcular la medida total de este ángulo de este ángulo déjame hacerlo en color rojo color rojo todo este ángulo de acá este ángulo está formado por uno que mide teta con uno que mide 90 grados menos theta 90 grados menos theta entonces la medida de ese gran ángulo justo es igual a 90 grados y de 90 grados y por lo tanto este triángulo es un triángulo rectángulo en donde el ángulo recto es opuesto al diámetro de la circunferencia es un resultado súper padre y es bastante general en realidad este punto lo pudimos haber tomado en cualquier lado y de todas formas nos quedaba un triángulo rectángulo pudo haber sido por ejemplo un punto por acá un punto por acá y entonces tendríamos que este triángulo rectángulo este triángulo rectángulo con este el ángulo recto o bien pudimos haber tomado el punto por acá y entonces este triángulo de acá es el rectángulo con este de acá el ángulo recto vale y la prueba sería exactamente la misma para todos los casos bueno este es un resultado muy bonito espero que te haya gustado y nos vemos en siguientes vídeos