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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:19

Demostración: el radio es perpendicular a una cuerda que biseca

CCSS.Math:
HSG.C.A.2

Transcripción del video

en el vídeo anterior aprendimos que si tenemos dos triángulos que tienen todos los lados correspondientes en ambos triángulos iguales entonces por lado lado a lado tendremos congruencia congruencia congruencia y también mencionamos algo de axiomas y postulados pero quiero ser muy claro aquí a veces se escuchan esto referido como teorema o postulado postulado o acción acción así que vamos a diferenciar un poco su significado estos dos postulados y axioma se asumen que son cierto mientras que el teorema es lo que probamos usando cosas más básicas como axiomas o postulados en matemáticas tenemos ciertos postulados núcleo o postulados básicos tenemos estos elementos postulados axiomas básicos axioma axiomas o postulados postulados que son cosas obvias que son cosas que son ciertas y no requieren de pruebas y usando estos demostramos teoremas con base en estos axiomas a partir de ellos vamos generando teoremas por ejemplo este sale de aquí de este otro acción más sale este teorema a lo mejor de estos dos al unirlos sale otro teorema a lo mejor aquí sale otro teorema que al unirlo con éste nos da un teorema demás y así sucesivamente creo que con esto pueden darse una idea con esto tratamos de construir nuestro conocimiento matemático alrededor de estos postulados axiomas básicos en nuestras clases de introducción a la geometría hemos probado de manera rigurosa este elemento del lado lado a lado por eso ya lo podemos dar por sentado como axioma o postulado donde esto es para que conozcan la diferencia entre estas palabras teorema y postulado y acción y también para que no se confundan esto de aquí ya está comprobado aunque en muchos libros se lo encuentran como el teorema al lado lado al lado aunque no necesariamente lo hayan probado rigurosamente así que es más un axioma un postulado aclarado esto y a partir de ahora vamos a asumir que lado lado un lado es algo dado y les quiero mostrar que podemos hacer cosas útiles con esto digamos que tenemos un círculo que voy a dibujar a partir de en este punto voy a dibujar un círculo algo así lo más proporcionado que se pueda y este círculo tiene su centro en el punto y digamos que tenemos una cuerda qué va de este punto a este punto de la circunferencia esta cuerda no es un diámetro y también digamos que tenemos un radio que parte del centro del círculo a este punto de la circunferencia de manera que be secta o divide en dos partes iguales esta cuerda así que este segmento de acá será igual que el segmento de aquí y vamos a etiquetar esto vamos a ponerle etiquetas a estos vértices vamos a llamar bueno deja quedamos que estés a este punto de aquí va a ser mejor este de arriba este de que iba a ser de este punto de acabarse y este otro punto de acá va a ser de lo que quiero probar ahora lo que quiero probar quiero probar el segmento de línea ave este segmento de ave es perpendicular al segmento de líneas cede a la cuerda que pasa por acá es decir que ave forma un ángulo recto concede y voy a probarlo usando el postulado lado lado lado para usar esto voy a necesitar algunos triángulos y aunque ahora no los tengo los puedo construir usando cosas que ya conozco por ejemplo puede agregar un radio que va de aã de un radio aquí y puedo agregar de hecho yo creo que lo voy a hacer en otro color para que pueda notarse mejor un radio que va de aã de y voy a agregar otro radio que va del centro a c d hace aquí está sabemos que ambas líneas de hace y de ave tienen la misma longitud que es el radio del círculo así que estas líneas de acá me den lo mismo podemos decir que hace es congruente con la de del planteamiento del problema sabemos que esta mitad de la cuerda es igual a esta otra mitad y a este punto intermedio lo vamos a llamar por lo que el segmento c es igual al segmento ed también sabemos que ambos triángulos este es uno de los triángulos este es uno de los triángulos y el otro triángulo este de acá que estoy poniendo en morado comparten el lado a este lado de aquí es igual a sí mismo es igual a él así que este segmento de aquí ese segmento de aquí es igual a sí mismo y estos son triángulos adyacentes así que tenemos una situación en la que tenemos dos triángulos que tienen lados correspondientes iguales así que por el postulado por lado lado lado nos implica que el triángulo a ese este triángulo es congruente es congruente con el triángulo con este triángulo de aquí de la derecha para que les quede más claro este lado de acá es congruente con este lado de acá este lado de acá también tiene el mismo tamaño es congruente con este lado de acá y este que sea decente pues es igual para ambos triángulos como nos ayudan esto con lo que queremos probar pues lo general es que una vez que probamos que estos dos triángulos son congruentes podemos decir que los ángulos también son congruentes la medida del ángulo que lo voy a poner en amarillo para que resalte la medida de mi ángulo c&a este ángulo de aquí va a ser igual congruente con la medida del ángulo d este ángulo de acá lo escribo la medida del ángulo a es igual a la medida del ángulo d ah y esto es útil porque hablo observa el diagrama vemos que son ángulos suplementarios estos ángulos son adyacentes y esos extremos forman un ángulo ya no un ángulo de 180 grados son suplementarios y equivalentes así que mi medida del ángulo mi medida del ángulo c a más la medida del ángulo de a es igual a 180 grados no son equivalentes puedo reemplazar puedo escribir la medida del ángulo c&a la medida del ángulo se halla que son equivalentes el de ella y el cea estos van a ser igual a 180 grados que es lo mismo que dos veces por la medida del ángulo c&a igual a 180 grados por lo tanto la medida 180 grados la medida del ángulo se a es igual a 180 grados / 2 igual a 90 grados y que esto también es igual a la medida del ángulo de a por lo que hemos probado que este ángulo es de 90 grados este también es de 90 grados son ángulos rectos por lo que ave es perpendicular a cd