Arcos, razones y radianes

Homotecia de círculos y sectores

Razonamiento sobre razones

Afirmaciones

1. El círculo 2 es una homotecia del círculo 1.

   ¿Cómo lo sabemos?

   ¡Todos los círculos son semejantes! Con una sola homotecia, podemos:

   • Mapear el centro de un círculo al otro.
   • Escalar por un factor ${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$‍ la distancia entre los puntos en el círculo y el centro.
2. Si el factor de escala del círculo 1 al círculo 2 es $k$‍, entonces $r_2=k{r}_1$‍.

   ¿Cómo lo sabemos?

   Las homotecias cambian todas las longitudes, incluyendo la longitud de radios, por el factor de escala.
3. La longitud del arco en el círculo 1 es ${\ell }_1={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍.

   ¿Cómo lo sabemos?

   La longitud de toda la circunferencia del círculo 1 es $2\pi r_1$‍.

   Cada grado del arco es ${\displaystyle \frac{1}{360}}$‍ de la circunferencia total. El arco mide $\theta \mathrm{°}$‍.

   Entonces la longitud del arco es ${\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍.
4. Por el mismo razonamiento, la longitud del arco en el círculo 2 es ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_2$‍.
5. Al sustituir, podemos volver a escribir eso como ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1$‍.
6. Entonces ${\ell }_2=k{\ell }_1$‍.

   ¿Cómo lo sabemos?

   Ya obtuvimos una expresión para la longitud del arco ${\ell }_1$‍. Usemos la propiedad conmutativa de la multiplicación para hacerlo más evidente.

   $\begin{array}{rl}{\ell }_2& ={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1\\ \\ & =k\cdot {\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1& \text{Propiedad conmutativa}\\ \\ & =k{\ell }_1& \text{Sustitución}\end{array}$‍

   ¿Qué significa esta ecuación en palabras?

   La medida del arco ${\ell }_2$‍ es $k$‍ veces la medida del arco ${\ell }_1$‍.

   Aunque ${\ell }_1$‍ y ${\ell }_2$‍ se miden como curvas, ¡cambian por el mismo factor de escala que los segmentos rectos, tal como el radio!
7. En conclusión, ${\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}$‍.

   ¿Cómo lo sabemos?

   Multiplicar por ${\displaystyle \frac{k}{k}}$‍ es equivalente a multiplicar por $1$‍, así que no cambia el valor de la expresión.

   $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}& =1\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k{\ell }_1}{k{r}_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}\end{array}$‍

Conclusión

Una nueva razón y una nueva forma de medir ángulos

Más maneras de describir radianes

¿Por qué usar radianes en lugar de grados?