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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:41

Demostración: radio perpendicular a una recta tangente

CCSS.Math:
HSG.C.A.2

Transcripción del video

lo que tenemos aquí es un círculo con centro en el punto y tenemos una línea que es tangente al círculo a la cual vamos a llamar l así que a esta línea vamos a darle nombre y es la línea l verdad y vemos que el punto en donde la línea tangente intersec a a la circunferencia es el punto a verdad y finalmente vamos a trazar el radio que conecta el centro con el punto a lo que quiero hacer en este vídeo es demostrar que este radio este radio inter seca a la línea l formando un ángulo recto verdad este ángulo que se forma acá será un ángulo recto es decir es de 90 grados y lo primero que vamos a hacer es convencernos de que este punto a es el más cercano al punto pero que se encuentra también sobre la línea él es el punto más cercano punto o que se encuentra sobre la línea l así que vamos a demostrar eso vamos a hacer esto vamos a demostrar a demostrar que el punto es el punto es el punto más cerca es el punto sobre la línea l es el punto sobre el más cercano más cercano al punto o verdad que el punto recordemos es el centro de nuestra circunferencia verdad entonces te invito a que hagas una pausa y trates de demostrar esta afirmación por tu propia cuenta y luego lo haremos juntos muy bien entonces vamos a tomarnos otro punto sobre la línea l puede ser este punto puede ser este otro punto podría ser este otro punto yo yo voy a tomar este punto para que sea mucho más claro y digamos que este punto vamos a darle el nombre este punto va a ser el punto ve muy bien entonces si nosotros trazamos el segmento que conecta ao ya ver no tenemos que primero hay que llegar a la circunferencia verdad hasta aquí llegamos a la circunferencia y luego tenemos que trazar otro pequeño pedazo verdad que va de la circunferencia al punto b cierto entonces si queremos ir de o del centro o al punto b tenemos que trazar un radio y luego un pequeño segmento más así que dado que a se encuentra sobre la circunferencia verdad la distancia de a ao es justamente la digamos la medida de este radio verdad mientras que si tomamos cualquier otro punto fuera que se encuentre sobre l tendríamos que trazar un radio más otro pequeño segmento por eso es que el punto a es el más cercano al punto pero que además se encuentra sobre la recta l muy bien entonces no tenemos que aquí no hemos terminado ahora hay que demostrar que si tenemos un punto y una línea verdad de este punto estás fuera de la línea entonces el segmento que conecta a ese punto con digamos el punto más cercano que se encuentre sobre la línea verdad entonces ese segmento es perpendicular a la línea así que vamos a demostrar esta nueva afirmación vamos a demostrar vamos a demostrar muy bien que el segmento el segmento que conecta este segmento que conecta conecta un punto un punto fuera de una línea verdad recordemos que este punto el punto estaba afuera de la línea fuera d la línea vamos a llamarle así simplemente fuera de la línea al punto más cercano verdad que sería en el ejemplo que teníamos anteriormente era nuestro punto al punto más cercano más cercano sobre la línea sobre la línea que teníamos sobre la línea es perpendicular a la línea entonces el segmento que conecta a un punto fuera vamos a movernos tantito verdad el segmento que conecta un punto fuera de la línea y que por supuesto que lo conecta al punto más cercano sobre la línea es perpendicular a la línea original es decir como visualizamos esto bueno consideremos un segmento por aquí una línea más bien tendremos una línea l y digamos que tenemos un punto o que se encuentra fuera de esa línea verdad entonces fijémonos en el punto que se encuentre sobre la línea l pero que sea el más cercano al punto o verdad digamos que es este de aquí entonces aquí tenemos la línea o sería el punto el punto fuera de la línea este punto nada este este punto digamos morado de aquí sería el punto más cercano sobre la línea y ahora con verde trazamos el segmento que conecta a estos dos puntos verdad entonces este segmento debe formar un ángulo recto es decir un ángulo de 90 grados con la línea l verdad y lo voy a demostrar por reducción al absurdo es decir vamos a demostrarlo por contradicción y cómo sería esto esto sería esto sería suponiendo lo contrario verdad vamos a suponer supongamos supongamos que que el segmento de ese segmento del que hemos estado hablando verdad que conecta que conecta al punto conecta al punto fuera de la línea fuera d línea que conecta el punto fuera de la línea al punto con el que conecta el punto fuera de la línea con el punto más cercano el punto más cercano cercano no es perpendicular a la línea verdad aquí es en donde viene la contradicción no es perpendicular a la línea vamos a suponer que el segmento que conecta al punto fuera de la línea con el punto más cercano no es perpendicular a la línea es decir que este ángulo no es de 90 grados entonces vamos a visualizar esto vamos a poner nuevamente nuestra línea l vamos a poner nuestro punto y vamos a decir que es el punto y digamos que el punto vamos a ponerlo aquí es el más cercano al punto pero que no forma un ángulo de 90 grados cuando los conectamos verdad entonces déjenme hacerlo con el mismo color vamos a conectarlos con un segmento y este ángulo no es de 90 grados verdad no es 90 grados verdad es decir que no es recto ahora si suponemos esto como es una demostración por contradicción vamos a encontrar otro punto sobre el que sea más cercano ao verdad aunque a supusimos que era el más cercano vamos a poder encontrar uno todavía más cercano verdad lo cual contradice el hecho de que a era el más cercano a o sobre la línea de verdad entonces como lo hallamos bueno vamos a construir un triángulo rectángulo muy bien vamos a construir este triángulo rectángulo una línea aquí ponemos un ángulo recto aquí verdad y ahí tenemos un triángulo rectángulo ahora vamos a darle el nombre a estos lados para que sea más claro digamos a este lado vamos a llamarle a a esta base vamos a llamarle b déjenme hacerlo incluso con otro color vamos a llamarle a este b y a este lado verde pues vamos a llamarle c muy bien entonces qué es lo que sabemos bueno podemos utilizar aquí el teorema de pitágoras verdad el teorema de pitágoras nos dice que a cuadrada a cuadrada más b cuadrada debe ser igual a cuadrada muy bien entonces pensemos un poquito si el valor de b fuera 0 entonces tendríamos que a cuadrada s cuadrada y por lo tanto a tendría que ser igual a c pero como ve esto si es un triángulo de esto no es un triángulo degenerado de verdad esto sí tiene área entonces el valor de b es positivo quiere decir que a tiene que ser un poco más chico que se para que a cuadrada más b cuadrada sea igual a se cuadrada verdad entonces de aquí podemos concluir que a es más chico que se es menor que se verdad entonces este punto que acabamos de encontrar este que nos forma el triángulo digamos o de a verdad ese punto de ahora resulta ser más cercano ao que lo que ya era a verdad porque la distancia desde hago es a y la distancia de juego ajá a mayúscula para que no haya complicaciones s es mayor que a minúscula verdad entonces aquí hemos llegado a la contradicción supusimos que el punto a era el más cercano sobre el verdad y que el segmento entre o ya no formaba con l un ángulo de 90 grados si así fuera podemos encontrar este punto de que es más cercano al punto que ya de lo que ya era el punto a lo cual es una contradicción verdad entonces el segmento eso significa que el segmento tiene que ser perpendicular a la línea verdad entonces si nos regresamos por ejemplo a nuestro caso del círculo verdad aquí tenemos el segmento que conecta a un punto fuera de una línea y que lo conecta con el punto más cercano sobre esa línea entonces tiene que ser perpendicular verdad este este segmento tiene que ser perpendicular a la línea verdad así con todo esto podemos garantizar que el radio que une el centro con el punto donde la línea tangente toca la circunferencia es perpendicular a dicha línea