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Matemáticas 2

Curso: Matemáticas 2 > Unidad 5

Lección 2: Introducción a los números complejos
Matemáticas
Matemáticas 2
Números complejos
Introducción a los números complejos
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Introducción a números complejos

Google Classroom
Aprende qué son los números complejos, y acerca de sus partes reales e imaginarias.
En el sistema de los números reales no hay solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. En esta lección estudiaremos un nuevo sistema numérico, en el cual la ecuación sí tiene solución.
La columna vertebral de este nuevo sistema numerico es el número i, también conocido como la unidad imaginaria.
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Al tomar múltiplos de esta unidad imaginaria podemos crear un infinidad de nuevos números, como 3, i, i, square root of, 5, end square root y minus, 12, i. Estos son ejemplos de números imaginarios.
Sin embargo, podemos ir más lejos y sumar números reales con números imaginarios; por ejemplo 2, plus, 7, i y 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Estas combinaciones se llaman números complejos.

Definir números complejos

Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, donde i es la unidad imaginaria y start color #1fab54, a, end color #1fab54 y start color #11accd, b, end color #11accd son números reales.
a+bi↑↑iParteParterealimaginaria\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Parte}&&\text{Parte} \\ \text{real}&&\text{imaginaria} \end{array}
start color #1fab54, a, end color #1fab54 se llama la parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 del número, y start color #11accd, b, end color #11accd se llama la parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #11accd del número.
La siguiente tabla ilustra ejemplos de números complejos, identificando sus partes real e imaginaria. Algunas personas identifican más fácilmente estas partes si el número está escrito en forma estándar.
Número complejoForma estándar start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iDescripción de las partes
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iLa parte real es start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iLa parte real es start color #1fab54, 4, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iLa parte real es start color #1fab54, 0, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iLa parte real es start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 y la imaginaria es start color #11accd, 0, end color #11accd

Comprueba tu comprensión

Problema 1
¿Cuál es la parte real de 13, point, 2, i, plus, 1?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
¿Cuál es la parte imaginaria de 21, minus, 14, i?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
¿Cuál es la parte real de 17, i?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Clasificar números complejos

Ya sabemos qué es un número real y acabamos de definir qué es un número complejo. Ahora regresemos para dar una definición adecuada de un número imaginario.
Un número imaginario es un número complejo start text, a, plus, b, i, end text en el que start text, a, =, 0, end text.
Similarmente, podemos decir que un número real es un número complejo start text, a, plus, b, i, end text en el que start text, b, =, 0, end text.
A partir de la primera definición, podemos concluir que cualquier número imaginario es también un número complejo. De la segunda definición podemos concluir que cualquier número real es también un número complejo.
Además, puede haber números complejos que no son reales ni imaginarios, como 4, plus, 2, i.
Nuˊmeros complejos4+2i−3−5iNuˊmeros reales5−12.23Nuˊmeros imaginarios5i−12.2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números complejos} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números reales} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12.2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números imaginarios} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12.2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

Pregunta para reflexionar

El siguiente enunciado es ¿verdadero o falso?
Cualquier número complejo es real, o bien imaginario.
Escoge 1 respuesta:

Ejemplos

En la siguiente tabla se han clasificado varios números como reales, imaginarios puros, y/o como complejos.
Real(b=0)\begin{aligned}&\text{Real}\\&(b=0)\end{aligned}Imaginario(a=0)\begin{aligned}&\text{Imaginario}\\&(a=0)\end{aligned}Complejo(a+bi)\begin{aligned}&\text{Complejo}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
−1.3i(0+(−1.3)i)\begin{aligned}&-1.3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1.3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Observa que en la tabla todos los números se indican ¡como números complejos! ¡Esto es verdadero en general!

¡Ahora inténtalo tú!

Problema 4
¿Qué tipo de número es minus, 2, plus, 3, i?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problema 5
¿Qué tipo de número es 10, point, 2?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problema 6
¿Qué tipo de número es minus, 17, i?
Elige todas las respuestas adecuadas:

¿Por qué son importantes estos números?

¿Entonces para qué estudiamos números complejos? Créelo o no, los números complejos tienen muchas aplicaciones: en ingeniería eléctrica y en mecánica cuántica, ¡por nombrar solo algunos!
Desde un punto de vista puramente matemático, una cosa interesante que podemos hacer con números complejos es resolver cualquier ecuación polinomial.
Por ejemplo, la ecuación polinomial x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 no tiene soluciones reales ni imaginarias. Sin embargo sí tiene dos soluciones complejas, que son 1, plus, 2, i y 1, minus, 2, i.
Mientras continuamos nuestro estudio de las matemáticas, aprenderemos más acerca de estos números y donde se utilizan.

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