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Matemáticas 2
Curso: Matemáticas 2 > Unidad 5
Lección 1: La unidad imaginaria i- Introducción a los números imaginarios
- Introducción a los números imaginarios
- Simplificar raíces de números negativos
- Simplifica raíces de números negativos
- Potencias de la unidad imaginaria
- Potencias de la unidad imaginaria
- Potencias de la unidad imaginaria
- i como la raíz principal de -1
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Introducción a los números imaginarios
Aprende sobre la unidad imaginaria i, acerca de números imaginarios, y de la raíz cuadrada de números negativos.
En tu estudio de las matemáticas, puedes haber observado que algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución en los números reales.
Por ejemplo, por más que lo intentes, nunca encontrarás un número real que sea solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. Esto se debe a que es imposible elevar un número real al cuadrado y ¡obtener un número negativo!
Sin embargo, sí existe una solución de la ecuanción x, squared, equals, minus, 1 en un nuevo sistema de números, que se llama el sistema de números complejos.
La unidad imaginaria
La columna vertebral de este nuevo sistema de números es la unidad imaginaria, o sea el número i.
Las siguientes propiedades son verdaderas para el número i:
La segunda propiedad demuestra que el número i sí es una solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. La ecuación que previamente era insoluble, ¡ahora tiene una solución, al agregar la unidad imaginaria!
Números imaginarios puros
El número i ¡de ninguna manera está solo! Al utilizar múltiplos de esta unidad imaginaria, podemos crear una infinidad de otros números imaginarios puros.
A saber, 3, i, i, square root of, 5, end square root, y minus, 12, i, son ejemplos de números imaginarios puros; o sea, números de la forma b, i, donde b es un número real diferente de cero.
Elevar estos números al cuadrado ilustra cómo se relacionan con los números reales. Investiguemos esto al elevar el número 3, i al cuadrado. Las propiedades de exponentes enteros son las mismas, así que podemos elevar 3, i al cuadrado tal como podemos imaginarlo.
Por el hecho de que i, squared, equals, minus, 1, podemos simplificar esto aún más como sigue.
El hecho que left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 significa que 3, i es una raíz cuadrada de minus, 9.
Comprueba tu comprensión
De esta manera vemos que los números imaginarios puros ¡son raícces cuadradas de números negativos!
Simplificar números imaginarios puros
La siguiente tabla muestra ejemplos de números imaginarios puros, en sus formas no simplificadas y simplificadas.
Forma no simplificada | Forma simplificada |
---|---|
square root of, minus, 9, end square root | 3, i |
square root of, minus, 5, end square root | i, square root of, 5, end square root |
minus, square root of, minus, 144, end square root | minus, 12, i |
¿Pero cómo simplificamos estos números imaginarios puros?
Veamos más de cerca el primer ejemplo, a ver si podemos razonar la simplificación.
Equivalencia original | Razonamiento |
---|---|
La raíz cuadrada de minus, 9 es un número imaginario. La raíz cuadrada de 9 es 3, así que la raíz cuadrada de 9 negativo es start text, 3, end text unidades imaginarias, o sea 3, i. |
La siguiente propiedad explica el "razonamiento" anterior en términos matemáticos.
Para a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Juntando esto con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales, podemos simplificar todos los números imaginarios puros. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Simplifica square root of, minus, 18, end square root.
Solución
Observemos primero que square root of, minus, 18, end square root es un número imaginario, pues es la raíz cuadrada de un número negativo. Así que empecemos por volver a escribir square root of, minus, 18, end square root como i, square root of, 18, end square root.
Enseguida podemos simplificar square root of, 18, end square root con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales.
Nuestro trabajo se muestra a continuación.
Así, tenemos que square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.
Practiquemos con algunos problemas
Problema 1
Problema 2
Problema 3
¿Para qué tenemos números imaginarios?
La respuesta es simple. La unidad imaginaria i nos permite encontrar soluciones de muchas ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
Esto puede parecer extraño, pero de hecho es muy común que haya ecuaciones insolubles en un sistema de números que sean solubles en otro sistema más general de números.
He aquí algunos ejemplos con los que puedes estar más familiarizado.
- Con los números naturales únicamente, no podemos resolver x, plus, 8, equals, 1, ¡necesitamos a los números enteros para ello!
- Con los números enteros únicamente, no podemos resolver 3, x, minus, 1, equals, 0, ¡necesitamos los números racionales para ello!
- Con los números racionales únicamente, no podemos resolver x, squared, equals, 2. ¡He ahí a los números irracionales y el sistema de números reales!
Así que, con los números reales únicamente, no podemos resolver x, squared, equals, minus, 1. ¡Necesitamos a los números imaginarios para ello!
A medida que continúes con tu estudio de las matemáticas, verás la importancia de estos números.
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- Y como o con que vamos a emplear esto en unfuturo?(9 votos)
- Me podrian ayudar
( 2 x² – 1 )² = ( 1 + 2 x ) ( 1 – 2 x ) – 1(2 votos)- Asumiendo que es una igualdad porque veo que pusiste el: "=" , supongo que quieres hallar X.
(2x² – 1)² = (1 + 2x)(1 – 2x) – 1
(2x²)²-2(2x²)(1)+(1)² = 1 -2x +2x -4x² –1
4x⁴ -4x² +1 = -4x²
4x⁴+1 = -4x²+4x²
4x⁴+1 = 0
4x⁴ = -1
x⁴ = -1/4
x = √-1/4, -√-1/4
Nota: No entendí por qué habías publicado tu pregunta en la unidad de números complejos, pero en el antepenúltimo empecé a entender por qué. Si así lo deseas, puedo escribir paso a paso los procedimientos que llevé. Para terminar, son 2 resultados y por eso los separé por una coma. Espero que te sirva, suerte(10 votos)
- cuanto es (-i) al cuadrado(4 votos)
- por que toda i elevada al cuadrado es (-1) entonces el resiltado puede que quede negativo o positivo dependiendo de que signo tenga(0 votos)
- ¿Cuáles son los cuadrados perfectos? ¿Cómo los reconozco? ¿Y como descubro si cierto número no los tiene, ej 10?(2 votos)
- por que la la raiz de 10 es 3.1622 lo cual te da un numero irracional entpoces el resultado es i raiz de 10 por que la i es un numero imaginario(1 voto)
- La explicación de porque usamos los numeros imaginarios me gusto mucho, hay un video de Barton Zwiebach del MIT dando una explicación similar, aunque para un tema mucho más avanzado, pero al final tambien concluyo con la idea de que necesitamos los numeros complejos para resolver ecuaciones.(2 votos)
- se puden dividir raices con cantidades imaginarias?(1 voto)
- como lo pongo al cuadrado?(1 voto)
- en la suma o la sultiplicacion de toda i+i se eleva al cuadrado(1 voto)
- no es muy clara la respuestas(1 voto)
- Hola, me preguntaba como puedo simplificar esto 2√-16(1 voto)
- 2√-16
Lo primero que hago es identificar que raíz de -16 es un numero imaginario, entonces busco factores primos y para ello tengo en cuenta que 16 lo puedo dividir en 2 y me da 8, igualmente la dividir 8 en 2 me da 4 y al dividir en 2 este 4 me da 2 y al dividir el 2 entre el dos me da 1, entonces tengo :
2√-16 = 2√-1por16 = 2√-1√16
2√-16 = 2i^2√16
2√-16 = 2(-1)√16
2√-16 = -2√16i(1 voto)
- Yo quiero saber si este, primero se ponen los números menores y después los mayores en la simplificación de números imaginarios puros. Tomo como ejemplo el problema 3: la raíz de menos cuatro. en una primer instancia, es 6*4=24 así que me daba 3i a la raíz de cuatro, pero al comprobar estaba mal y era 2i a la raíz de 6. entonces tomando eso es 4*6=24 y asi si queda... entonces tengo que poner primero el numero menor o el mayor? Perdón, pero, ando confundida respecto a eso. Agradecería si me pudieran explicar eso.(0 votos)
- si por que al sacar un resultado si el numero te lo da en medio tienes que sacar el para poder sacar el resultado que quieres(1 voto)