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Matemáticas 2

Curso: Matemáticas 2 > Unidad 5

Lección 1: La unidad imaginaria i
Matemáticas
Matemáticas 2
Números complejos
La unidad imaginaria i
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Introducción a los números imaginarios

Google Classroom
Aprende sobre la unidad imaginaria i, acerca de números imaginarios, y de la raíz cuadrada de números negativos.
En tu estudio de las matemáticas, puedes haber observado que algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución en los números reales.
Por ejemplo, por más que lo intentes, nunca encontrarás un número real que sea solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. Esto se debe a que es imposible elevar un número real al cuadrado y ¡obtener un número negativo!
Sin embargo, sí existe una solución de la ecuanción x, squared, equals, minus, 1 en un nuevo sistema de números, que se llama el sistema de números complejos.

La unidad imaginaria

La columna vertebral de este nuevo sistema de números es la unidad imaginaria, o sea el número i.
Las siguientes propiedades son verdaderas para el número i:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
La segunda propiedad demuestra que el número i sí es una solución de la ecuación x, squared, equals, minus, 1. La ecuación que previamente era insoluble, ¡ahora tiene una solución, al agregar la unidad imaginaria!

Números imaginarios puros

El número i ¡de ninguna manera está solo! Al utilizar múltiplos de esta unidad imaginaria, podemos crear una infinidad de otros números imaginarios puros.
A saber, 3, i, i, square root of, 5, end square root, y minus, 12, i, son ejemplos de números imaginarios puros; o sea, números de la forma b, i, donde b es un número real diferente de cero.
Elevar estos números al cuadrado ilustra cómo se relacionan con los números reales. Investiguemos esto al elevar el número 3, i al cuadrado. Las propiedades de exponentes enteros son las mismas, así que podemos elevar 3, i al cuadrado tal como podemos imaginarlo.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Por el hecho de que i, squared, equals, minus, 1, podemos simplificar esto aún más como sigue.
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
El hecho que left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 significa que 3, i es una raíz cuadrada de minus, 9.

Comprueba tu comprensión

¿Qué es left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

¿Cuál de los siguientes es raíz cuadrada de minus, 16?
Escoge 1 respuesta:

De esta manera vemos que los números imaginarios puros ¡son raícces cuadradas de números negativos!

Simplificar números imaginarios puros

La siguiente tabla muestra ejemplos de números imaginarios puros, en sus formas no simplificadas y simplificadas.
Forma no simplificadaForma simplificada
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
¿Pero cómo simplificamos estos números imaginarios puros?
Veamos más de cerca el primer ejemplo, a ver si podemos razonar la simplificación.
Equivalencia originalRazonamiento
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}La raíz cuadrada de minus, 9 es un número imaginario. La raíz cuadrada de 9 es 3, así que la raíz cuadrada de 9 negativo es start text, 3, end text unidades imaginarias, o sea 3, i.
La siguiente propiedad explica el "razonamiento" anterior en términos matemáticos.
Para a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Juntando esto con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales, podemos simplificar todos los números imaginarios puros. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Simplifica square root of, minus, 18, end square root.

Solución

Observemos primero que square root of, minus, 18, end square root es un número imaginario, pues es la raíz cuadrada de un número negativo. Así que empecemos por volver a escribir square root of, minus, 18, end square root como i, square root of, 18, end square root.
Enseguida podemos simplificar square root of, 18, end square root con lo que sabemos sobre la simplificación de radicales.
Nuestro trabajo se muestra a continuación.
−18=i18Para a>0, −a=ia=i⋅9⋅29 es cuadrado perfecto y factor de 18=i9⋅2ab=a⋅b cuando a,b≥0=i⋅3⋅29=3=3i2La multiplicacioˊn es commutativa\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Para $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ es cuadrado perfecto y factor de $18$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ cuando } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{La multiplicación es commutativa}}} \end{aligned}
Así, tenemos que square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

Practiquemos con algunos problemas

Problema 1

Simplifica square root of, minus, 25, end square root.

Problema 2

Simplifica square root of, minus, 10, end square root.

Problema 3

Simplifica square root of, minus, 24, end square root.

¿Para qué tenemos números imaginarios?

La respuesta es simple. La unidad imaginaria i nos permite encontrar soluciones de muchas ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
Esto puede parecer extraño, pero de hecho es muy común que haya ecuaciones insolubles en un sistema de números que sean solubles en otro sistema más general de números.
He aquí algunos ejemplos con los que puedes estar más familiarizado.
  • Con los números naturales únicamente, no podemos resolver x, plus, 8, equals, 1, ¡necesitamos a los números enteros para ello!
  • Con los números enteros únicamente, no podemos resolver 3, x, minus, 1, equals, 0, ¡necesitamos los números racionales para ello!
  • Con los números racionales únicamente, no podemos resolver x, squared, equals, 2. ¡He ahí a los números irracionales y el sistema de números reales!
Así que, con los números reales únicamente, no podemos resolver x, squared, equals, minus, 1. ¡Necesitamos a los números imaginarios para ello!
A medida que continúes con tu estudio de las matemáticas, verás la importancia de estos números.

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