Potencias de la unidad imaginaria

Sabemos que $i=\sqrt{-1}$i, equals, square root of, minus, 1, end square root y que $i^2=-1$i, squared, equals, minus, 1.

¿Pero qué pasa con $i^3$i, cubed, $i^4$i, start superscript, 4, end superscript, u otras potencias enteras de $i$i? ¿Cómo podemos evaluar estas?

¡Las propiedades de los exponentes pueden ayudarnos aquí! De hecho, al calcular potencias de $i$i, podemos aplicar las propiedades de los exponentes que sabemos que son verdaderas en el sistema de números reales, siempre que los exponentes sean enteros.

Con esto en mente, evaluemos $i^3$i, cubed e $i^4$i, start superscript, 4, end superscript.

Sabemos que $i^3=i^2\cdot i$i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Y puesto que ${i^2=-1}$i, squared, equals, minus, 1, vemos que:

Similarmente $i^4=i^2\cdot i^2$i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Nuevamente, por el hecho de que ${i^2=-1}$i, squared, equals, minus, 1, tenemos que:

¡Sigamos adelante! Evaluemos las siguientes $4$4 potencias de $i$i con un método similar.

La tabla muestra un resumen de los resultados.

A partir de la tabla, parece que las potencias de $i$i realizan ciclos en la secuencia $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab y $\goldD1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

¿Con este patrón podemos evaluar $i^{20}$i, start superscript, 20, end superscript? ¡Intentémoslo!

La siguiente lista muestra los primeros $20$20 números en la secuencia que se repite.

$\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10, $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10

De acuerdo a esta lógica, $i^{20}$i, start superscript, 20, end superscript debe ser igual a $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Veamos si esto se puede respaldar con exponentes. Recuerda que podemos utilizar aquí las propiedades de los exponentes, ¡tal como lo hacemos con números reales!

De ambas formas, vemos que $i^{20}=1$i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Supongamos que ahora queremos evaluar $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript. Podríamos listar la secuencia $\blueD i$start color #11accd, i, end color #11accd, $\greenD{-1}$start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, $\purpleD{-i}$start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, $\goldD 1$start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... hasta el $138^\text{o}$138, start superscript, start text, o, end text, end superscript término, pero ¡esto tomaría demasiado tiempo!

Observa, sin embargo, que $i^4=1$i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, $i^8=1$i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, $i^{12}=1$i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, etc., o sea que $i$i elevado a un múltiplo de $4$4 es $1$1.

Podemos utilizar este hecho, junto con las propiedades de los exponentes, para ayudarnos a simplificar $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript.

Simplifica $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript.

Aunque $138$138 no es un múltiplo de $4$4, ¡el número $136$136 sí lo es! Utilicemos esto para simplificar $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript.

Así que $i^{138}=-1$i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

Ahora podrías preguntarte porqué decidimos escribir $i^{138}$i, start superscript, 138, end superscript como $i^{136}\cdot i^2$i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.

Pues bien, como el exponente original no es múltiplo de $4$4, encontrar el múltiplo de $4$4 más cercano que sea menor, nos permite simplificar la potencia a alguno de $i$i, $i^2$i, squared, o bien $i^3$i, cubed, simplemente por el hecho de que $i^4=1$i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.

Este número se encuentra fácilmente si divides el exponente original entre $4$4. Es simplemente el cociente (sin el residuo) multiplicado por $4$4.