Resolver ecuaciones cuadráticas: raíces complejas

nos piden que resolvamos la siguiente ecuación 2x cuadrada + 5 igual a 6x lo primero que quiere hacer es pasar esto de la forma estándar y cuando me refiero a tener una ecuación de segundo grado en su forma estándar estoy pensando en lo siguiente hay que es cuadrada más bx más c igual a cero porque así es mucho más fácil resolver una ecuación cuadrática que verlo así y por lo tanto para pasar esto igual hacerlo que es quitar este 6x y para ello voy a restar de ambos lados 6x y que me va a quedar bueno del lado izquierdo me queda 2x cuadrada menos 6x más 5 y del lado derecho me quedan 6 x menos 6 x se van y me queda igual a 0 por lo tanto ya está en su forma estándar y bueno a continuación lo que quiero ver es que esto no es divisible entre 26 si es divisible entre 2 pero el 5 no es divisible entre 2 por lo tanto factorizar esta expresión no se ve tan sencillo como pensamos y es justo en ese momento cuando se me ocurre que tal vez la podamos resolver o completando el binomio al cuadrado perfecto o utilizando la fórmula general para resolver la fórmula cuadrática o la solución general de ecuaciones de segundo grado que nos dice que x es igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 a cm y todo esto hay que dividirlo entre 2 a que al final esta fórmula pues recuerda que se prueba completando el binomio al cuadrado perfecto así que estamos haciendo lo mismo y bueno pues vamos a resolver esto me queda menos b pero en menos b es menos 6 entonces me queda menos por menos más me queda 6 más menos la raíz cuadrada de b cuadrada es decir menos 6 al cuadrado lo cual me da 36 36 menos 4 por a por c 4 por 2 por 5 se vale en esta ocasión 5 y a todo esto hay que dividirlo entre 2 a pero a vale 2 entonces me queda entre 4 y bueno esto es lo mismo que 6 más menos la raíz cuadrada de 36 menos todo esto que está aquí es 4 por 28 por 540 entonces déjame ponerlo aquí 36 menos 40 entre 4 todo esto hay que dividirlo entre 4 y bueno quiero que te des cuenta que aquí adentro de la raíz cuadrada tenemos 36 menos 40 lo cual me da un número negativo menos cuatro y todo esto hay que dividirlo entre 4 y en ese momento me dice sal pero la raíz cuadrada de menos 4 es un número imaginario vamos a trabajar en esta ocasión con números imaginarios y la respuesta es que si quiero que trabajemos con números imaginarios y veamos que también son soluciones de las ecuaciones cuadráticas y de hecho como sacamos la raíz cuadrada de menos 4 bueno pues esto es lo mismo que 2 y recuerdas cómo se acaba la raíz cuadrada de un número negativo bueno para eso utilizamos los números imaginarios es decir la raíz cuadrada de menos 4 déjame ponerlo aquí arriba quién era esto es lo mismo que la raíz cuadrada de menos 1 por la raíz cuadrada de 4 y bueno de creo que me estoy saltando un paso mejor déjame ponerlo así esto lo mismo que la raíz cuadrada de menos 1 por 4 menos 1 por 4 es igual a menos 4 y entonces ahora sí separó la raíz esto es lo mismo que la raíz cuadrada de 1 por la raíz cuál de 4 en la raíz cuadrada de 1 sur principal es y no olvidemos a los números imaginarios y la raíz cuadrada de 4 estos por lo tanto todo esto se simplifica en 2 y entonces me queda que x es 6 más menos 2 y entre 4 y bueno esto lo puede simplificarse dividido tanto arriba como abajo entre 2 y me va a quedar 6 entre 2 es 3 más menos y entre 2 y bueno aquí ya tengo mis dos raíces de esta ecuación recuerda que cuando yo tengo una ecuación cuadrática tengo dos raíces mi primera raíz sería poner esto en positivo y me quedaría tres medios más un medio de y tres medios más y entre dos pero y entre dos es lo mismo que un medio de iu o en su dado caso la segunda raíces tres medios menos recuerda que una es positiva y la otra es negativa menos un medio de iu y fíjate que aquí ya lo tenemos en su forma compleja estamos hablando de números complejos donde claramente se ve cuál es su parte real y cuál es su parte imaginaria así que cuando esto ya tenemos nuestras raíces de esta ecuación que queremos solucionar nuestras ecuaciones que existen los números tres más y entre dos estas dos cosas son iguales la podemos ver así o en dado caso así y la otra pues la veríamos como 3 - y entre 2 2 destacando de aquí a la izquierda esto es lo mismo que 3 - y entre 2 lo único que estoy haciendo separando esta expresión que tengo aquí bueno pues a continuación lo que quiero hacer es demostrar que en efecto estas son las raíces a que me refiero lo que quiero ver es que no nos hayamos equivocado y sustituir el valor de x en la ecuación original en la igualdad original por nuestras raíces para ver si se cumplen esta igualdad es decir estoy buscando la comprobación de esta solución y para esto lo que voy a hacer es sustituir a x por mi primera raíz que mi primer raíces 3 más y entre 2 y que me queda 2 que multiplica a 3 más y entre 2 lo voy a poner mejor así y esto elevado al cuadrado si le sumo cinco tiene que ser igual a seis veces x pero x es 3 más y entre 2 y las 3 sustituyendo en la ecuación para ver si realmente se cumple esta igualdad y bueno como elevó al cuadrado me queda el cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo es decir nueve más seis veces y más el cuadrado del segundo el cuadrado de y es cuadrada fíjate que lo único que estoy haciendo es resolviendo este binomio al cuadrado perfecto cuadrado de 39 más dos veces el primero por el segundo seis y tres por 12 6 por 16 y más el cuadrado del segundo el cuadrado de iese cuadrada lo cual vale menos 1 ya esto lo dividimos entre 2 al cuadrado que es 4 ya todo esto le sumamos 5 tiene que ser igual a 6 entre 2 lo cual me da 3 y a 3 lo tengo que multiplicar por 3 más y tres por tres me dan 9 y 3 por y me that 3 y es decir todo esto tiene que ser igual a 93 y bueno lo primero que quiero que veas es que 9 menos uno se puede simplificar y esto me da 88 6 y entre 4 y bueno a continuación la tvc es dividir tanto arriba como abajo entre 2 para simplificar un poco esta expresión 8 entre dos me da 4 6 y entre 23 y 4 entre 2002 y 2 que multiplica y 2 que dividen se van también y me queda simple y sencillamente que 4 3 y ya esto le agrego 5 tiene que ser igual a 93 y bueno 3 y 3 si pagan estos dos se van y solamente me queda que 45 es igual a 9 pero eso es cierto por lo tanto qué creés tres más si entre dos si es raíz de esta ecuación perfecto ya tengo una de mis raíces y además la demostración de que si es raíz la comprobación ahora lo que me tengo que fijar es en mi otra raíz tres menos y entre dos y quiero ver si también es raíz de esta ecuación por lo tanto voy a tomarme otra vez la ecuación original con la que partimos 2x cuadrada más 5 igual a 6 y ahora voy a sustituir a x por 3 menos y entre 2 y me queda 2 que multiplica x cuadrada es decir 3 menos si entre 2 elevado al cuadrado más 5 igual a 6x pero x lo estamos sustituyendo por 3 menos si entre 2 y esto a que va a ser igual bueno pues primero voy a hacer lo mismo que hice acá voy a elevar tres menos y entre dos elevado al cuadrado y lo que quiero que te des cuenta es que arriba tenemos un binomio al cuadrado perfecto otra vez que por cierto hay que resolver 3 al cuadrado es decir el cuadrado del primero me da 9 menos dos veces el primero por el segundo 2 por 13 6 por y me da 6 y a esto hay que quitarle 6 y y después menos y elevado al cuadrado es decir el segundo al cuadrado menos y elevado al cuadrado es exactamente lo mismo que y elevado al cuadrado es menos 1 es como cuando tenemos menos tres y tres su cuadrado es el mismo y si quieres lo podemos ver aquí - y elevado al cuadrado es lo mismo que menos uno porque menos x menos me da más y elevado al cuadrado me da menos uno entonces me quedan nueve menos seis y ya esto lo voy a sumar menos uno pero más x menos el mismo que menos entonces mejor 96 y menos 1 ya esto hay que dividirlo entre el cuadrado de 2 que es 42 al cuadrado me da 4 todo esto lo tengo que multiplicar por 2 y después sumarle 5 y esto tiene que ser igual 6 entre 2 otra vez me da 3 esto lo puedo simplificar un poco 3 y 1 estoy dividiendo todo entre 2 y me queda 3 x 3 9 y después 3 x menos y lo cual me da menos 3 y bueno pues vamos a simplificar la parte de arriba de todo esto que tengo aquí 9 - 1 otra vez me da 8 entonces esto me da 88 menos 6 y después voy a dividir tanto arriba como abajo entre 2 y me va a quedar 4 menos 3 y entre 2 así que deje al ponerlo 4 menos tres y entre 2 recuerda que lo que estoy haciendo sacando la mitad de arriba y sacando la mitad de abajo entonces me queda 2 y ahora sí 2 que multiplica otra vez y 2 que dividen se van de nuevo y me queda simple y sencillamente 4 menos 3 y 5 4 menos 3 y más 5 tiene que ser igual vamos con calma 4 - 3 y más 5 esto tiene que ser igual a 9 menos 3 y 9 menos 3 y bueno aquí está otra vez menos tres y menos tres y paga y 459 por lo tanto también paga esta raíz 3 entre 2 también cumple que es una raíz de esta ecuación cuadrática que teníamos originalmente y es que aquí hay algo muy importante si tenemos un número complejo entonces su conjugado también es raíz de esta ecuación cuadrática