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Matemáticas 2

Curso: Matemáticas 2 > Unidad 2

Lección 6: Factorizar cuadráticas por agrupación
Matemáticas
Matemáticas 2
Cuadráticas: multiplicación y factorízación
Factorizar cuadráticas por agrupación
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Factorizar por agrupación

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Aprende acerca de un método de factorización llamado "agrupación." Por ejemplo, podemos usar la agrupación para escribir 2x²+8x+3x+12 como (2x+3)(x+4).

Lo que necesitas saber para esta lección

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
Ya hemos visto varios ejemplos de factorización. Sin embargo, para este artículo, deberías estar familiarizado específicamente con sacar factores comunes usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis.

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo, aprenderemos cómo usar un método de factorización llamado agrupación.

Ejemplo 1: factorizar 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Primero, observa que no hay factor común para todos los términos en 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12. Sin embargo, si agrupamos los primeros dos términos y los últimos dos términos, cada grupo tiene su propio MCD, o máximo común divisor:
start underbrace, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 8, x, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, p, r, i, m, e, r, space, a, g, r, u, p, a, m, i, e, n, t, o, end text, end subscript, plus, start underbrace, left parenthesis, 3, x, plus, 12, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, s, e, g, u, n, d, o, space, a, g, r, u, p, a, m, i, e, n, t, o, end text, end subscript
En particular, hay un MCD de 2, x en la primera agrupación y un MCD de 3 en la segunda agrupación. Podemos factorizarlos para obtener la siguiente expresión:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Observa que esto revela otro factor común entre los dos términos: start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05. Podemos usar la propiedad distributiva para factorizar este factor común.
2, x, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis
Ya que el polinomio se expresa como un producto de dos binomios, está en forma factorizada. Podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar para desarrollar los paréntesis y comparar el resultado con el polinomio original.

Ejemplo 2: factorizar 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Vamos a resumir lo que se hizo anteriormente al factorizar otro polinomio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Agrupa teˊrminos.=3x(x+2)+4(x+2)Factoriza los MCD.=3x(x+2)+4(x+2)¡Factor comuˊn!=(x+2)(3x+4)Factoriza x+2.\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Agrupa términos.}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Factoriza los MCD.}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{¡Factor común!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Factoriza } x+2.}} \end{aligned}
La forma factorizada es left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Factoriza 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Ejemplo 3: factorizar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Hay que ser más cuidadosos cuando el método de agrupación se usa para factorizar un polinomio con coeficientes negativos.
Por ejemplo, los pasos siguientes se pueden usar para factorizar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Agrupa teˊrminos.(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Factoriza los MCD.(3)=3x(x−2)−4(x−2)Simplifica.(4)=3x(x−2)−4(x−2)¡Factor comuˊn!(5)=(x−2)(3x−4)Factoriza x−2.\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Agrupa términos.}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Factoriza los MCD.}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Simplifica.}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{¡Factor común!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Factoriza $x-2$.}}}\\\\ \end{aligned}
La forma factorizada del polinomio es left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Podemos multiplicar los binomios para comprobar nuestro trabajo.
Algunos de los pasos anteriores pueden parecer diferentes a lo que viste en el primer ejemplo, así que quizás tengas algunas preguntas.
¿De dónde vino el signo "+" entre las agrupaciones?
En el paso start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, un signo de "+" se agregó entre las agrupaciones left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis y left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Esto es porque el tercer término left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis es negativo y el signo del término debe incluirse dentro de la agrupación.
Mantener el signo de menos afuera de la segunda agrupación es delicado. Por ejemplo, un error común es agrupar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 como left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Esta agrupación, sin embargo, se simplifica a 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, lo cual no es lo mismo que la expresión original.
¿Por qué hay que factorizar minus, 4 en lugar de 4?
En el paso start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, factorizamos un minus, 4 para revelar un factor común de left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis entre los términos. Si en lugar de eso factorizamos un 4 positivo, no obtendríamos el binomio común de arriba:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Cuando el término principal en un grupo es negativo, a menudo necesitaremos factorizar un factor común negativo.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Factoriza 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

Problema de desafío

7*) Factoriza 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

¿Cuándo podemos usar el método de agrupación?

El método de agrupación se puede usar para factorizar polinomios siempre que exista un factor común entre las agrupaciones.
Por ejemplo, podemos usar el método de agrupación para factorizar 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6, pues se puede escribir de la siguiente forma:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
¡Sin embargo, no podemos usar el método de agrupación para factorizar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12 porque factorizar el MCD de ambos grupos no nos da un factor común!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Usar la agrupación para factorizar trinomios

También puedes usar la agrupación para factorizar ciertas cuadráticas de tres términos (es decir, trinomios) como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Esto es porque podemos volver a escribir la expresión de la siguiente manera:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Luego podemos usar la agrupación para factorizar 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Para obtener más información sobre la factorización de trinomios cuadrados como estos con el método de agrupación, revisa nuestro siguiente artículo.

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