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Matemáticas 2
Curso: Matemáticas 2 > Unidad 3
Lección 7: Completar el cuadrado- Completar el cuadrado
- Ejemplo resuelto: completar el cuadrado (introducción)
- Completar el cuadrado (introducción)
- Ejemplo resuelto: volver a escribir expresiones al completar el cuadrado
- Ejemplo resuelto: volver a escribir y resolver ecuaciones al completar el cuadrado
- Completar el cuadrado (intermedio)
- Resuelve al completar el cuadrado: soluciones enteras
- Resuelve al completar el cuadrado: soluciones no enteras
- Resuelve ecuaciones cuadráticas al completar el cuadrado
- Ejemplo resuelto: completar el cuadrado (coeficiente principal ≠ 1)
- Completar el cuadrado
- Resolver cuadráticas al completar el cuadrado (no tiene solución)
- Resolver cuadráticas al completar el cuadrado
- Repaso de completar el cuadrado
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Resuelve al completar el cuadrado: soluciones enteras
Podemos usar la estrategia de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Si las soluciones son enteras, también podemos resolver con factorización. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Tenemos esta ecuación aquí, y lo que quiero
que hagas es pausar este video y ver si puedes resolverla. ¿Qué valores de x satisfacen la
ecuación? Muy bien, ahora trabajemos juntos en esto. Una técnica podría ser simplemente
tratar de completar el cuadrado aquí, en el lado izquierdo. Para hacer eso, permíteme escribirlo
de esta manera: x² - 8x y luego escribiré el + 1 aquí es igual a 85. Ahora, si quiero completar el
cuadrado sólo tengo que pensar ¿qué puedo agregar a ambos lados de esta expresión para hacer que el
lado izquierdo sea un cuadrado perfecto? Bueno, si miro este coeficiente de 8 negativo del primer término, podría decir: Bien, permíteme tomar la mitad del 8 negativo, eso sería 4 negativo, y luego 4 negativo al cuadrado será 16 positivo, así que pondré 16 positivo en el lado izquierdo, y además puedo restar 16 del lado izquierdo, o lo
puedo sumar en el lado derecho. Ten en cuenta que acabo de hacer lo mismo en ambos lados de esta
ecuación. Y esto ¿para qué nos sirve? Bueno, pues ahora lo que acabo de poner entre paréntesis
es un cuadrado perfecto, esto es lo mismo que (x - 4)²; lo hice a propósito: nos fijamos
en este 8 negativo, la mitad de eso es 4 negativo, lo elevas al cuadrado y obtienes 16, y puedes verificar
que (x - 4) (x - 4) es de hecho igual a esto, y luego tenemos + 1, y esto será igual a, ¿qué es
85 + 16?, eso es 101. Y ahora queremos deshacernos de este 1 en el lado izquierdo, y la forma más
fácil de hacerlo es restar 1 de ambos lados, de esa manera aislamos (x - 4)² y nos quedamos con
(x - 4)², estos se cancelarán igual a 100. Ahora, si algo al cuadrado es igual a 100, eso significa
que ese algo es igual a la raíz cuadrada positiva o negativa de 100, o que ese algo (x - 4) es igual
a 10 positivo o negativo. Todo lo que hice fue sacar la raíz cuadrada positiva o negativa de 100,
y eso tiene sentido porque si tomo 10² positivo obtendré 100, si tomo 10² negativo obtengo 100, entonces (x - 4 ) podría ser uno de esos. Y ahora sólo sumó 4 a ambos lados de la ecuación. ¿Qué obtengo?
Obtengo que x = 4 ± 10; puedo escribirlo también como x = 4 + 10 es 14 y luego 4 - 10 es igual a
6 negativo. Estas son dos formas de resolverlo, pero hay otras formas de resolver esta ecuación.
Podríamos desde el principio restar 85 de ambos lados. Algunas personas se sienten más cómodas
resolviendo cuadráticas si la expresión cuadrática es igual a 0, y si hiciéramos eso obtendríamos
x² - 8 x - 84 = 0. Todo lo que hice fue restar 85 de ambos lados de esta ecuación para obtener
esto. Ahora podemos abordar esto de dos maneras diferentes: podemos completar el cuadrado de
nuevo o simplemente podríamos intentar factorizar. Si completamos el cuadrado veremos algo muy
similar a esto. Voy a resolverlo rápidamente: si veo esta parte puedo decir x² - 8x y luego
una vez más la mitad de 8 negativo es 4 negativo, este cuadrado es más 16, y luego tendría menos
84 -permíteme hacer eso en color azul para poder darle seguimiento-, menos 84, y luego si agrego 16
en el lado izquierdo -podría agregarlo también del lado derecho para que ambos lados tengan 16 o si
quiero mantener la igualdad podría restar 16 del lado izquierdo-, así que agrego 16, resto 16; no
he cambiado el valor del lado izquierdo que sería igual a 0; esta parte de aquí es (x - 4)²; esta
parte de aquí es menos 100 = 0 y luego agregamos 100 a ambos lados y obtenemos exactamente lo
que obtuvimos antes. Ahora veamos otra forma en que podríamos resolver esto sin completar el
cuadrado. Podríamos decir que x² - 8 x - 84 = 0, y pensar en cuál par de números al
multiplicarlos nos da 84 negativo, por lo tanto deben tener signos diferentes, ya
que al multiplicarlos obtengo un número negativo y que al sumarlos obtengamos un 8 negativo, y allí
podríamos ver la factorización de 84 negativo o de 84 en general. Podría ser, pensando en 84, podría
ser 2 x 42 y obviamente uno de ellos tendría que ser negativo y uno de ellos tendría que ser
positivo para llegar al 84 negativo, pero la diferencia entre estos dos números, si uno fuera
positivo y otro negativo, es mucho mayor que 8, así que esto no funciona. Intentemos, veamos,
haré algunas mentalmente: 3 x 28, esa diferencia es mayor que 8; 4 x... 4 x 21 tampoco porque la
diferencia entre 4 y 21 sigue siendo mayor que 8; veamos, 5 no entra en esto; 6 x 14, eso es
interesante. Muy bien, pensemos en esto. Entonces 6 x 14 = 84, uno de ellos tiene que ser
negativo, y dado que cuando sumamos los números y obtenemos un número negativo, eso significa que el
más grande es negativo. Veamos: 6 x 14 negativo es 84 negativo, 6 + 14 negativo, es de hecho, igual a
8 negativo. Entonces podemos factorizar esto como (x + 6) (x - 14) = 0, y entonces el producto de
esas dos cosas es igual a 0, lo que significa que si cualquiera de ellos es igual a 0 eso haría que
toda la expresión sea igual a 0, así que podemos decir que x + 6 = 0 o x - 14 = 0, restamos 6 de
ambos lados aquí y nos queda que x = 6 negativo, o sumamos 14 a ambos lados aquí y nos queda
x = 14, exactamente lo que obtuvimos aquí.