Resuelve al completar el cuadrado: soluciones enteras

Tenemos esta ecuación aquí, y lo que quiero  que hagas es pausar este video y ver si puedes   resolverla. ¿Qué valores de x satisfacen la  ecuación? Muy bien, ahora trabajemos juntos   en esto. Una técnica podría ser simplemente  tratar de completar el cuadrado aquí, en el lado   izquierdo. Para hacer eso, permíteme escribirlo  de esta manera: x² - 8x y luego escribiré el + 1   aquí es igual a 85. Ahora, si quiero completar el  cuadrado sólo tengo que pensar ¿qué puedo agregar   a ambos lados de esta expresión para hacer que el  lado izquierdo sea un cuadrado perfecto? Bueno,   si miro este coeficiente de 8 negativo del primer término, podría decir: Bien, permíteme tomar la mitad del   8 negativo, eso sería 4 negativo, y luego 4 negativo al cuadrado será 16 positivo, así que pondré 16 positivo en el lado izquierdo,   y además puedo restar 16 del lado izquierdo, o lo  puedo sumar en el lado derecho. Ten en cuenta que   acabo de hacer lo mismo en ambos lados de esta  ecuación. Y esto ¿para qué nos sirve? Bueno,   pues ahora lo que acabo de poner entre paréntesis  es un cuadrado perfecto, esto es lo mismo que   (x - 4)²; lo hice a propósito: nos fijamos  en este 8 negativo, la mitad de eso es 4 negativo, lo elevas   al cuadrado y obtienes 16, y puedes verificar  que (x - 4) (x - 4) es de hecho igual a esto,   y luego tenemos + 1, y esto será igual a, ¿qué es  85 + 16?, eso es 101. Y ahora queremos deshacernos   de este 1 en el lado izquierdo, y la forma más  fácil de hacerlo es restar 1 de ambos lados,   de esa manera aislamos (x - 4)² y nos quedamos con  (x - 4)², estos se cancelarán igual a 100. Ahora,   si algo al cuadrado es igual a 100, eso significa  que ese algo es igual a la raíz cuadrada positiva   o negativa de 100, o que ese algo (x - 4) es igual  a 10 positivo o negativo. Todo lo que hice fue   sacar la raíz cuadrada positiva o negativa de 100,  y eso tiene sentido porque si tomo 10² positivo   obtendré 100, si tomo 10² negativo obtengo 100, entonces (x - 4 ) podría ser uno de esos. Y ahora sólo   sumó 4 a ambos lados de la ecuación. ¿Qué obtengo?  Obtengo que x = 4 ± 10; puedo escribirlo también   como x = 4 + 10 es 14 y luego 4 - 10 es igual a  6 negativo. Estas son dos formas de resolverlo,   pero hay otras formas de resolver esta ecuación.  Podríamos desde el principio restar 85 de ambos   lados. Algunas personas se sienten más cómodas  resolviendo cuadráticas si la expresión cuadrática   es igual a 0, y si hiciéramos eso obtendríamos  x² - 8 x - 84 = 0. Todo lo que hice fue restar   85 de ambos lados de esta ecuación para obtener  esto. Ahora podemos abordar esto de dos maneras   diferentes: podemos completar el cuadrado de  nuevo o simplemente podríamos intentar factorizar.   Si completamos el cuadrado veremos algo muy  similar a esto. Voy a resolverlo rápidamente:   si veo esta parte puedo decir x² - 8x y luego  una vez más la mitad de 8 negativo es 4 negativo,   este cuadrado es más 16, y luego tendría menos  84 -permíteme hacer eso en color azul para poder   darle seguimiento-, menos 84, y luego si agrego 16  en el lado izquierdo -podría agregarlo también del   lado derecho para que ambos lados tengan 16 o si  quiero mantener la igualdad podría restar 16 del   lado izquierdo-, así que agrego 16, resto 16; no  he cambiado el valor del lado izquierdo que sería   igual a 0; esta parte de aquí es (x - 4)²; esta  parte de aquí es menos 100 = 0 y luego agregamos   100 a ambos lados y obtenemos exactamente lo  que obtuvimos antes. Ahora veamos otra forma   en que podríamos resolver esto sin completar el  cuadrado. Podríamos decir que x² - 8 x - 84 = 0,   y pensar en cuál par de números al  multiplicarlos nos da 84 negativo,   por lo tanto deben tener signos diferentes, ya  que al multiplicarlos obtengo un número negativo   y que al sumarlos obtengamos un 8 negativo, y allí  podríamos ver la factorización de 84 negativo o de   84 en general. Podría ser, pensando en 84, podría  ser 2 x 42 y obviamente uno de ellos tendría que   ser negativo y uno de ellos tendría que ser  positivo para llegar al 84 negativo, pero la   diferencia entre estos dos números, si uno fuera  positivo y otro negativo, es mucho mayor que 8,   así que esto no funciona. Intentemos, veamos,  haré algunas mentalmente: 3 x 28, esa diferencia   es mayor que 8; 4 x... 4 x 21 tampoco porque la  diferencia entre 4 y 21 sigue siendo mayor que 8;   veamos, 5 no entra en esto; 6 x 14, eso es  interesante. Muy bien, pensemos en esto.   Entonces 6 x 14 = 84, uno de ellos tiene que ser  negativo, y dado que cuando sumamos los números y   obtenemos un número negativo, eso significa que el  más grande es negativo. Veamos: 6 x 14 negativo es   84 negativo, 6 + 14 negativo, es de hecho, igual a  8 negativo. Entonces podemos factorizar esto como   (x + 6) (x - 14) = 0, y entonces el producto de  esas dos cosas es igual a 0, lo que significa que   si cualquiera de ellos es igual a 0 eso haría que  toda la expresión sea igual a 0, así que podemos   decir que x + 6 = 0 o x - 14 = 0, restamos 6 de  ambos lados aquí y nos queda que x = 6 negativo,   o sumamos 14 a ambos lados aquí y nos queda  x = 14, exactamente lo que obtuvimos aquí.