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Resolver expresiones cuadráticas por factorización: coeficiente principal ≠ 1

CCSS.Math:
HSA.REI.B.4
,
HSA.REI.B.4b
,
HSA.SSE.B.3
,
HSA.SSE.B.3a
,
HSF.IF.C.8
,
HSF.IF.C.8a

Transcripción del video

entonces tenemos 6x cuadrada menos 120 x 600 igual a 0 y como siempre para os el vídeo y ver si puedes resolver para x encuentran los valores de x que satisfacen esta ecuación ok vamos a trabajarla juntos entonces estos números de aquí no se ven como unos números extravagantes se ven como algo con lo que podemos trabajar y a lo mejor somos capaces de factorizar lo entonces vamos a intentarlo lo primero que quiero hacer es ver si puedo dejar aquí en el término del segundo grado un coeficiente de uno y para eso de lo que me estoy dando cuenta es que todos son divisibles entre seis entonces qué te parece si dividimos ambos lados de la ecuación entre seis para así tener coeficientes lindos y enteros bien pues hagámoslo vamos a dividir de ambos lados entre seis entonces voy a dividir esta parte entre seis también voy a dividir esta parte en 36 también voy a dividir esta parte entre 6 y este también lo voy a dividir entre 6 muy bien claramente si hago esto en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene y bueno del lado izquierdo con que me voy a quedar estos dos se van y me voy a quedar simple con x cuadrada x cuadrada y después tengo menos 120 x entre 6 bueno 120 entre 6 eso es lo mismo que 20 entonces me quedarían menos 20 x muy bien y después 600 entre 6 eso también se puede reducir fácilmente y me quedan 100 entonces a esto le voy a sumar 100 de lujo y esto va a ser igual a 0 entre 600 entre 6 es cero ahora veamos si podemos expresar esta ecuación cuadrática como el producto de dos expresiones y la manera en la que podemos hacer esto y de hecho lo hemos hecho muchas veces es la siguiente si tenemos una expresión como ésta déjame hacer un pequeño recordatorio por aquí si tengo x + am que multiplica a x bueno a cuánto es igual esto esto es lo mismo que x4 adam y después me queda a más ven a más ve por equis b por equis y al final me quedaría el producto de a por ven a por ver esto claro si multiplicas estas dos expresiones de aquí ahora lo que queremos hacer es ver si podemos factorizar esta expresión que tengo aquí como x + am por x + ven y cómo podemos hacer eso bueno pensemos en lo siguiente vamos a buscar dos números tales que si tomamos su producto va a ser 100 positivo y si tomamos su suma va a ser menos 20 déjame ponerlo aquí si tomamos su suma va a ser menos 20 a más me va a ser menos 20 y si multiplicamos a por b me va a dar 100 es decir el término constante aporte va a ser igual a 100 ahora lo primero que quiero que te fijes es que si tenemos un producto positivo eso nos está diciendo que tanto a como ven tienen el mismo signo déjame escribirlo aquí tanto am como b tienen el mismo signo tienen el mismo un signo es decir ambos serán negativos o ambos serán positivos ya que sabemos que su producto es positivo y que más me dice todo esto bueno como su suma es negativa ya puedo asegurar que ambos deben de ser negativos ya que bueno claro no puedes sumar dos números positivos y obtener un negativo por lo tanto ambos deben de ser negativos ahora bien pensemos un poco en esto que en números negativos cuando lo sumo -20 y cuando los multiplicó me dan 100 bueno lo que se te puede ocurrir es actualizar este 100 y decir ok 100 es lo mismo que menos 2 por menos 50 o menos 4 por menos 25 pero seguramente lo que más te va a llamar la atención es que esto también es lo mismo que menos 10 por menos 10 déjame ponerlo así esto es lo mismo que menos 10 por menos 10 y que menos diez menos diez menos diez más menos diez esto es lo mismo que menos veinte y eso quiere decir que en este caso tanto nuestra a como nuestra vez serán menos diez entonces podemos escribir el lado izquierdo de nuestra ecuación de la siguiente manera la podemos escribir como x más primero lo voy a poner así más menos 10 ok esto que a su vez multiplica a x más y lo voy a poner así más menos 10 y esto a su vez es igual lo único que he hecho hasta ahorita es factorizar esta expresión cuadrática ahora bien por otro lado estas dos son iguales x 10 así que podemos reescribir esto de la siguiente manera esto es lo mismo que lo puede poner así x menos 10 esto elevado al cuadrado y esto tiene que ser igual a cero entonces la única manera de que el lado izquierdo sea igual a cero es si x 10 es igual a 0 si quieres lo puedes pensar de la siguiente manera es como si tomara la raíz cuadrada de ambos lados pero no importa si es la raíz positiva o negativa porque nos estamos tomando la raíz cuadrada de 0 y la raíz cuadrada de cero es cero entonces diremos que x menos 10 esto es igual a cero o si sumo 10 de ambos lados voy a obtener que x tiene que tomar el valor de 10 y ya está es la solución de esta ecuación cuadrática con la que empezamos