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Resolver ecuaciones exponenciales mediante propiedades de exponentes (avanzado)

CCSS.Math:
HSA.SSE.B.3
,
HSN.RN.A.2
,
HSN.RN.A

Transcripción del video

en esta ocasión quiero que obtengamos un poco más de práctica resolviendo algunas ecuaciones exponenciales y aquí tengo dos ecuaciones exponenciales diferentes y como siempre te pido que pausas el vídeo y veas si en ámbas ecuaciones puedes obtener el valor de x resuelve lo para x ok primero vamos a resolver esta de aquí y como podrás haberte dado cuenta en ambos lados de la ecuación tengo bases distintas lo que quiere decir que estaría muy bien que tuviéramos la misma base pero como puedes ver 32 no es una potencia de 8 o al menos no es una potencia entera de 8 pero ambas son potencias de 2 por lo tanto puedo escribir a este 32 como 2 elevado a la quinta potencia como 2 elevado a la quinta potencia y puedo escribir a este 8 como 2 elevado a la tercera potencia estás de acuerdo y ya con esto puedo reescribir esta ecuación de la siguiente manera me va a quedar como 2 elevado a la quinta potencia lo cual es 32 2 elevado a la quinta potencia esto a su vez elevado a la potencia x sobre 3 y sobre 3 esto me va a quedar exactamente igual que bueno y tengo 2 elevado al cubo 2 elevado al cubo esto a su vez elevado a la potencia x menos 12 no olvidemos esta potencia que tengo aquí x menos 12 y ahora se elevó algo a una cierta potencia y después lo elevó a otra cierta potencia entonces simplemente puedo multiplicar estos exponentes entonces del lado izquierdo se multiplicó estos dos que me va a quedar bueno me va a quedar 2 elevado a que potencia bueno 5 por x sobre 3 es lo mismo que es 5x sobre 3 déjame ponerlo 5 x sobre 3 lo único que estoy haciendo es multiplicar 5 por x sobre 3 y bueno eso es del lado izquierdo del lado derecho que me va a quedar me va a quedar 2 elevado a que potencia bueno pues voy a multiplicar 3 por equis y después tres por menos doce distribuyendo la multiplicación de 3 por x 12 y eso va a ser lo mismo que 2 elevado a la 3x menos 36 de lujo lo único que hice fue multiplicar las potencias y ahora observa que ya tenemos la misma base y si ya tenemos la misma base eso quiere decir que este exponente tiene que ser exactamente igual a este otro exponente para que esta ecuación se cumpla es decir 5x sobre 3 tiene que ser igual a 3 x menos 36 y así vamos a poder resolver para x déjame escribirlo eso quiere decir que 5x sobre 3 esto tiene que ser igual a 3 x menos 36 bien ya tenemos una ecuación muy sencilla de resolver así que qué te parece multiplicamos todo por 3 voy a multiplicar todo por 3 de este lado y de este otro lado también voy a multiplicar todo por 3 así que este 3 y este 3 se van y me queda simple y sencillamente que 5x es igual a 9 x 9 x menos 36 por 3 es 108 de lujo y ahora voy a restar de ambos lados de esta ecuación 9 x y me va a quedar lo siguiente 5 x 9 x es lo mismo que menos 4x y de este lado solamente me voy a quedar con menos 108 de lujo y ahora bajemos la pantalla para obtener el valor de x y quién va a ser bueno pues vamos a dividir todo entre menos 4 todo entre menos 4 y que voy a obtener estos dos se van y me queda que x es igual a 184 es lo mismo que ven 7 de lujo entonces x toma el valor de 27 esa es mi respuesta y si tú tomas esa respuesta y la sustituye es justo acá arriba obtendrías esta igualdad que tengo aquí 32 elevado a la 27 entre 3 bueno 27 entre 3 es lo mismo que 932 elevado a la potencia 9 es exactamente lo mismo que 8 elevado a la potencia 27 menos 12 es decir 8 elevado a la potencia 15 en fin eso es solamente para divertirnos un poco la respuesta es que x es igual a 27 y entonces vamos a hacer el siguiente y bueno este ejercicio se ve más interesante porque fíjate que tenemos expresiones racionales y además tenemos una exponencial arriba y una exponencial abajo y por todos lados así que bueno lo primero que se me ocurre y lo primero que quiero hacer es pasar este 25 en términos de la base que vamos a usar que es y bueno sabemos que 25 es lo mismo que 5 al cuadrado entonces esto de aquí que me va a quedar me va a quedar que 5 elevado a la 4 x más 3 esto dividido entre y en lugar de 25 voy a escribir 5 el de pago al cuadrado y esto a su vez está elevado a la potencia 9 x 9 menos x y bueno esto va a ser igual a 5 elevado a la 2 x más 5 de lugo y bueno cuánto va a ser 5 elevado al cuadrado esto a su vez elevado a la 9 - x bueno pues los exponentes se multiplican así que arriba me va a quedar 5 elevado a la 4x 3 y en la parte de abajo estos dos se van a multiplicar y obtengo lo siguiente 5 elevado a la potencia 2 por 9 es 18 y 2 por menos x es menos 2x estás de acuerdo lo que hice fue multiplicar estas dos potencias y bueno del lado derecho me quedan 5 elevado a la 2 x más 5 muy bien y bueno como pueden resolver esto se me ocurren varias maneras una de ellas es decir voy a multiplicar todo por esta parte de abajo es decir voy a multiplicar todo por 5 elevado a las 18 menos 2x y esa sería una manera de hacerlo o podemos decir hey aquí tengo 5 elevado a una cierta potencia entre 5 elevado a otra cierta potencia esto va a ser lo mismo que cinco elevado a la diferencia de las potencias simplemente puedo restarle esta potencia de azul a esta potencia de amarillo del lado izquierdo que me va a quedar me va a quedar 5 elevado a la potencia 4x + 3 ya esto le vamos a quitar este exponente de abajo - y bueno déjame ponerlo con su respectivo color menos 18 menos 2 cuidado este menos afecta a todo este paréntesis y bueno eso va a ser igual a 5 elevado a las 2 x más 5 y ahora podemos simplificar un poco todo esto para eso déjenme bajar un poco la pantalla y ahora observa lo siguiente como ya tenemos la misma base entonces ahora sí podemos decir que esto va a ser exactamente igual a esto otro así que vamos a simplificarlo lo voy a hacer con este color 4 x + 3 menos 18 ya estoy multiplicando por este menos menos por 18 me queda menos 18 y menos por menos 2 x eso es más 2 x esto va a ser igual a 2x + 5 y bueno hay un montón de formas para resolver esto y una de ellas es restar 2x de ambos lados de esta ecuación por lo tanto se van a eliminar este de aquí y este de aquí y bueno lo que también se me ocurre es restar a 5 de ambos lados de esta ecuación voy a restar 5 de este lado y también de éste la vamos a hacerlo así que que me queda muy bien me estoy saltando algunos pasos pero estoy seguro que ya estás muy familiarizado con ecuaciones lineales así que vamos a hacerlo un poco más rápido 4x me va a quedar 4x y después 3 positivo menos 18 eso es lo mismo que menos 15 3 - 18 es menos 15 menos 5 es menos 20 y bueno de este lado solamente me queda 0 de lujo y después si sumó 20 de ambos lados de esta ecuación me va a quedar que 4x es lo mismo que 20 y se habrá dividido partes entre 4 entre 4 voy a obtener que x x va a ser igual a 20 entre 4 lo cual es 5 y ya está ya tengo aquí la solución de este segundo ejercicio