Introducción al teorema de la bisectriz de un ángulo

lo primero que quiero hacer en este vídeo es contarte qué dice el teorema de la bisectriz y después vamos a ver cómo se demuestra bueno aquí tenemos un triángulo abs y lo que voy a hacer es trazar la bisectriz desde v en realidad todo esto va a funcionar para la bisectriz desde cualquiera de los vértices vale pero ahorita lo vamos a trazar desde b para que sea más cómodo el dibujo bueno como es bisectriz este ángulo es igual a este aquí a este punto lo vamos a llamar el punto de a donde llega la bisectriz y el teorema de la bisectriz lo que dice es lo siguiente lo voy a apuntar aquí arriba que ahora emma de la bisectriz la bisectriz dice 3 lo que dice es lo siguiente observa que esta bisectriz ve de parte al triángulo en dos pequeños triángulos bueno pues las razones de los lados de esos triángulos que no son la bisectriz son iguales para ambos triángulos es decir vea entre ade es lo mismo que vence entre sede deja de escribirlo de esta forma lo voy a escribir como ave entre ade ave entre ave ave es igual acb en 13 d es igual acb se ve en 13 d muy bien entonces aquí tenemos unas razones es más déjame pintarlo con colores para que será un poco más padre tenemos a ave esta longitud de acá que va a ser color blanco entre a de que voy a pintar en morado entre a de esta de acá es igual acb que voy a poner en color verde igual acb se ve es esta de acá entre en 13 de que voy a pintar de color amarillo bueno ahí está más o menos en color amarillo pero la voy a pintar más amarillo vale en 13 d bueno entonces este teorema está bien padre nos da una relación entre ciertos segmentos a través de una igualdad de razones pero bueno o sea por muy padre que esté no podemos darla por hecho así nada más porque sí sería bueno ver de dónde sale o cómo la podemos mostrar y justo eso es lo que voy a hacer en el resto del vídeo bueno como tenemos una igualdad de razones a lo mejor sería buena idea encontrar triángulos semejantes y aquí pues tenemos los triángulos abed y cbd pero aunque compartan este ángulo el ángulo aquí arribita en realidad no sabemos mucho más acerca de esos triángulos entonces como no sabemos casi nada no podemos concluir que son cosas que son semejantes y entonces la idea es construir otro triángulo que nos ayude a probar esta igualdad y una forma de hacer eso es prolongar esta bisectriz prolongar la bisectriz ya que la bisectriz bd déjame prolongar la más o menos como por acá vale entonces esta es la continuación de la bisectriz y trazar una paralela a ave que pase por ce a lo mejor esta demostración te puede parecer un poco extraña y no entiendas muy bien de dónde salen las ideas pero no te preocupes a mí también me pareció extraña la primera vez que las vamos a ver más o menos cuál es el plan entonces vamos a trazar la paralela a ave que pasa por si más o menos algo de este estilo déjame ponerle color blanco para que la paralela se entienda quería de veras es paralela este d acá entonces esta es paralela a esta de acá vale lo voy a apuntar a ave es paralela hace digamos cf a este punto le voy a llamar efe y entonces el chiste es que al hacer esto este ángulo empieza a brincar vale este ángulo es un ángulo de una transversal a estas dos paralelas y entonces por ángulos alternos internos este ángulo lo podemos pasar para acá vale bf es una transversal de las dos paralelas y este ángulo se pasa para acá pero observa este ángulo de aquí abajo es igual al de aquí arriba pero el ave d es igual al de bs porque justo verde es la bisectriz entonces este ángulo es igual a este y este es igual a este entonces bfc es congruente a c b efe estos dos ángulos son iguales por lo tanto en el triángulo bfc tenemos dos ángulos de esta base iguales y así el triángulo b efe fcc es un triángulo isósceles con bc con b c igual a c efe entonces al haber trazado está paralela podemos concluir podemos concluir que b c b c es igual a c y esto está bien interesante porque bueno aquí en el teorema de la bisectriz queríamos involucrar e involucrar e involucrar a cb oa veces de alguna forma pero si nada más teníamos dos triángulos semejantes digamos este y este entonces veces estaba muy abandonado pero bueno gracias a que encontramos esta igualdad de segmentos ahora este veces lo podemos cambiar por un cf por un c f vale y entonces bastaría demostrar esta igualdad ave entre a de igual a cf / c d pero bueno no no no quiero empezar con el teorema más bien quiero llegar al teorema entonces sigamos con lo que estábamos haciendo tenemos que ver se es igual a cf este triángulos isósceles y lo que hicimos o bueno todo el plan era intentar mostrar que había un triángulo semejante al abed y un buen candidato es el cfd porque ya tienen estos dos ángulos en común entonces este triangulito de acá y este triangulito de acá parece que son semejantes y bueno ya nada más bastaría encontrar un ángulo más para que de adeveras fueran semejantes pero eso está bien fácil porque tienen ángulo este ángulo en d opuesto por el vértice entonces este ángulo de acá es igual este ángulo de acá los dos triángulos comparten dos ángulos y entonces bueno con eso comparten tres ángulos y por lo tanto son semejantes entonces déjame ponerle aquí que el triángulo a bb a bbb es un triángulo semejante al y aquí es importante ir de nada azul rojo al c nada azul efe c efe rojo de entonces el triángulo abed es semejante al triángulo cf d por el criterio ángulo ángulo y con esto podemos aprovechar las razones entre los lados y a lo mejor con eso ya demostramos el teorema de la bisectriz bueno vamos a ver que tenemos aquí queremos ave entre a de que sería este lado entre este lado si tenemos triángulos semejantes podemos comparar razones de lados correspondientes o bien tomar dos lados encontrar su razón y esa razón es igual a la razón de los lados correspondientes entonces vamos a ver cuánto es a b / a a semejanza voy a agarrar el color naranja entonces ave ave entre a de entonces sería ave con a de vámonos aquí a la semejanza para ver cuál es la razón correspondiente sería cf cf entre en 3cd en 13 d en 13 de ahí esto ya está súper padre porque justo acabamos de probar que cf es igual a veces entonces esto de aquí es igual abc o bien podemos escribirlo como se ve se ve en 13 de entonces ave entre a de ave entrega d es igual acb en 13 de eso es justo lo que queríamos demostrar va entonces todo salió muy bien y fue gracias a trazar esta paralela de aquí entonces para para demostrar el teorema de la bisectriz tuvimos que hacer dos cosas número uno trazar esta paralela y ver donde interpretaba a la prolongación de la bisectriz y número dos a partir de eso demostrar alguna y de ahí salieron dos cosas bien importantes para empezar este ángulo por ser alterno interno con este se pasó para acá y nos permitió demostrar un isósceles de modo que veces era igual a cf y entonces pudimos meter a veces en la jugada pero más aún esa misma paralela nos permitió encontrar la semejanza de los triángulos adb y cdf entonces combinando esta semejanza con la igualdad de estos dos segmentos la el teorema de la bisectriz simplemente se convirtió en una consecuencia de la igualdad de ciertas razones