Problema verbal de geometría: la proporción áurea

este es un autorretrato que hizo rembrandt en 1640 y lo interesante de esto es que como muchos grandes artistas como leonardo da vinci y salvador dalí y muchos otros más a rembrandt le gustaba mucho usar algo llamado la proporción dorada en khan academy hemos hecho varios vídeos sobre esta proporción que es algo realmente fascinante normalmente se denota como fin si es igual a 1.61 803 y continúa y tiene unas propiedades matemáticas geniales si comenzamos con 1 y le agregamos 1 en 3 y nos da si esto está genial si multiplicamos ambos lados de la ecuación por fin nos va a quedar sin más 1 igual a fi al cuadrado el cuadrado de si es firmas 1 también podemos expresarlo como fin igual a 1 + 1 entre 1 + 1 entre 1 + así infinitamente y no sólo es genial matemáticamente también lo encontramos en el mundo natural y es muy usado por los artistas porque piensan que les ayuda a definir la belleza humana podemos ver que rembrandt de la usaba en sus pinturas como no sabemos eso vamos a analizar esta pintura aquí construimos un triángulo este no es parte de la pintura original simplemente lo agregamos la base del triángulo está donde reposan sus brazos y los dos lados del triángulo enmarcan sus brazos y hombros y se unen en lo alto de este arco así tenemos el triángulo a vd y si pasamos a los ojos que es algo que naturalmente buscamos cuando vemos un rostro o al retrato de un rostro humano si dibujamos una línea horizontal que conecta los ojos y sea paralela a la base esta línea será el segmento pr la proporción ante el triángulo pequeño a pr y el triángulo grande abed va a involucrar a fin la proporción dorada eso es lo que sabemos la proporción del segmento se ve con respecto a veces es decir a uno este segmento de acá el cde es fin si la proporción de este segmento bc es un ahora el segmento pr es paralelo al segmento bebé que decir que estas dos líneas son paralelas segmento hace tiene la proporción con respecto al segmento aquí decía uno con respecto a uno esto nos indica que rembrandt de verdad uso esta proporción la altura del triángulo más alto a hace su proporción con respecto a la altura del triángulo más pequeño aquí es firmas uno a uno o sima zona ahora usamos toda esta información para explorar más al respecto y encontrar una expresión que indique la proporción del área del triángulo ave con respecto a la del triángulo a ver este triángulo de acá quiero a ver si podemos hacerlo en términos de fin con alguna constante o algo así los invito a que pausa en el vídeo y lo traten de hacer por su cuenta hagámoslo paso a paso cuál es el área del triángulo un medio por la base por la altura por lo que el área del triángulo abed es igual a un medio por el segmento bebé o la longitud de ese segmento por la longitud del segmento ac y cuál es el área del triángulo a perry aquí abajo al hacer un medio de la longitud del segmento pr por la longitud del segmento aquí como podemos simplificar esto pues vamos a quitar este un medio entre un medio pero que más sabemos nos dan la proporción de hace con respecto a q que es si massú no vamos a reescribir todo esto como que es igual a bb entre pr por fui más 1 entre 1 cuál es la proporción dvd con respecto a pr la relación de la base del triángulo grande con respecto a la base del triángulo pequeño pensemos un poco en ello pues vemos que ambos triángulos son similares es obvio que ambos triángulos tienen el ángulo a este de aquí en común y como pr es paralelo a bb sabemos que este ángulo b corresponde al ángulo pe y de este otro lado el ángulo de va a corresponder al ángulo r por lo que tenemos tres ángulos correspondientes congruentes así que son dos triángulos similares luego de los triángulos similares es que la proporción entre las longitudes de las partes correspondientes de hecho van a ser iguales y nos han dado una de dichas proporciones nos dieron la proporción de la altura del triángulo grande hace con respecto a q que es igual a fi más 1 con respecto a 1 si esto es cierto para una parte de los triángulos similares entonces se cumple para todas las partes correspondientes así que la razón o proporción de la base del triángulo grande con respecto a la base del triángulo pequeño también será fi más 1 entre 1 esto de cada bebé entre pr lo sustituyó por fi más 1 entre 1 y esto lo simplificamos como fi más uno al cuadrado y esto se merece un redoble de tambores aquí los invito a que reflexionen sobre esto ya que sabemos que fi más uno es igual a fi cuadrado y hay otras muchas formas interesantes de seguir analizando esto