Resolver triángulos semejantes

en este primer problema se nos pide encontrar la longitud del segmento c aquí podemos ver que tenemos líneas paralelas a b y d y tenemos estas dos líneas que son transversales y que forman estos dos triángulos vamos a ver qué podemos hacer lo primero que observamos es que estos dos ángulos son ángulos verticales y por lo tanto son congruentes y otra cosa que puede notar es que este otro ángulo cdeee es un ángulo interior alterno con el que es formado por los segmentos c b y por lo tanto van a ser congruentes otra forma de verlo es que si yo extiendo esta línea un poco más veremos que aquí tenemos un ángulo correspondiente a este otro de cualquier manera este ángulo y este otro ángulo van a ser congruentes aquí hemos establecido entonces que tenemos dos triángulos y dos de sus ángulos son iguales y esto por sí solo es suficiente para establecer una similitud incluso podríamos demostrar que estos dos ángulos son congruentes pero realmente no es necesario de todas formas ya sabemos que estos dos triángulos son similares así que vamos a dibujar aquí los ángulos que son congruentes aunque ya sabíamos que son similares aún antes de hacer esto vamos ahora a dibujar aquí y voy a usar un código de colores para no confundir nuestros ángulos ya que es importante no confundir que ángulos y qué lados corresponden con cuáles otros para no echar a perder nuestras proporciones así que el triángulo a ver a ver triángulo a b c triángulo abc es similar similar al triángulo formado por el vértice de aquí corresponde al vértice de aquí así que similar a él y el vértice b de acá es correspondiente al vértice de de este lado así que similar a d y nos queda el de c y esto que nos indica bueno nos dice que la proporción de los lados va a ser la misma tendremos algún valor constante entonces la proporción correspondiente al segmento b c b se va a ser la misma que la del segmento de c así que aquí lo indicamos veces es proporcional al segmento de s lo que nos parece aquí bastante obvio veces es proporcional a de s así que aquí abajo lo escribimos veces entre la longitud del segmento c de udc aquí lo escribimos va a ser igual a nuestra interrogante el segmento c y aquí estamos usando los segmentos b c y c d porque conocemos ya estos valores b c entre de se va a ser igual a nuestro segmento c entre su segmento correspondiente que va a ser el segmento a c o sea así que nos queda sea entre sí así pues nuestra expresión queda bc en trece de iguala c entre s aquí conocemos algunos valores el valor debe ser 5 el valor de dc es 3 el valor de c es 4 y nuestra incógnita el valor de c es lo que tenemos que calcular pensemos cómo podemos resolver esto una cosa que podemos hacer es multiplicar ambos lados de esta igualdad por ambos denominadores entonces nos quedaría 5 x c e igual a 3 x 4 12 aquí escribimos 12 ahora si divido ambos lados entre 5 me va a quedar sea igual a 12 quintos 12 quintos que esto es lo mismo que dos enteros y dos quintos así que el valor de nuestro segmento c es 2 enteros y dos quintos y como ven pudimos encontrar este valor simplemente conociendo la proporción de este otro triángulo que es similar a éste que estamos analizando ahora vamos a dibujar una línea aquí para separar lo que va a ser un nuevo problema en este otro problema lo que tenemos que encontrar es el valor del segmento de nuevamente vemos que aquí tenemos dos líneas paralelas así sabemos que los ángulos correspondientes van a ser congruentes el ángulo en el vértice a es igual que el que está en el vértice b ya que esta es una transversal y nuevamente vemos que de este lado este ángulo va a ser congruente con el ángulo que se encuentra aquí arriba por lo mismo hay una transversal y no sólo eso estos dos triángulos de aquí el que formado por c b y d y el formado por c pues comparten el mismo vértice llamado c por lo tanto también tienen el mismo ángulo ahora resulta evidente que estos dos triángulos comparten los mismos ángulos y por lo tanto son congruentes entre sí es importante recordar que tenemos que escribir las cosas en el orden correcto cuando estamos describiendo triángulos similares así que tenemos que el triángulo ven ven es similar no congruente similar al triángulo formado por c ah cada vértice en ambos triángulos está en el orden correspondiente y ahora podemos decir que la proporción correspondiente entre el segmento se ve de hecho vamos a escribirlo aquí se ve entre sí va a ser igual al segmento c de entre c y ahora podemos sustituir los valores conocemos el valor del segmento se ve que es 5 el segmento se ha c va a ser 5 + 3 o sea va a ser 8 por aquí escribimos 8 sabemos cuánto vale cdc de vale 4 haber aquí hacemos un poquito de espacio y vamos a despejar un poco vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por los denominadores así que nos queda 5% de este otro lado es 8 por 4 32 y ahora se va a ser igual a 32 entre 5 y esto es igual a 6 enteros 2 quintos pero esperen aún no terminamos pues lo que nos piden es el segmento de y hemos encontrado el segmento c pero esto ya no es muy difícil porque lo que vamos a hacer es restar lo que es el segmento cd4 a este valor que calculamos así que nuestro segmento d va a ser igual a 6 enteros dos quintos menos 4 o sea 2 enteros 2 quintos y ahora si ya hemos terminado la respuesta es 2 enteros 2 quintos