Principio de Cavalieri en 3D

Aquí tenemos dos cilindros, y digamos que  sabemos que tienen exactamente el mismo volumen,   esto tiene sentido porque parece que tienen la  misma área en su base y tienen la misma altura.   Ahora, lo que voy a hacer es comenzar a cortar  este cilindro izquierdo aquí y mover un poco   las cosas. Si lo corto en dos y tomo este  cilindro inferior -esa mitad inferior- y lo   desplazo un poco, ¿habré cambiado su volumen?  Bueno, claramente no he cambiado su volumen,   todavía tiene el mismo volumen; podemos decir  que el volumen combinado de estas dos mitades   del cilindro es igual al del cilindro original.  ¿Y qué pasaría si lo cortara aún más? Déjenme   cortarlo ahora en tres. Una vez más no he cambiado  el volumen original, sigue siendo el mismo volumen   que el del original y sólo lo corté en tercios.  Si los desplazo un poco no estoy cambiando el   volumen, y podría seguir haciendo eso, podría  cortarlo en muchas secciones. Ten en cuenta   que esto todavía tiene el mismo volumen original,  sólo lo corté en muchas secciones, lo he cortado   horizontalmente y ahora sólo estoy moviendo las  cosas, pero eso no cambia el volumen y puedo   hacerlo muchas veces. Estas parecen algún tipo de  fichas de juego. Aquí tengo mi cilindro original,   y ahora lo he cortado horizontalmente en un montón  de estas secciones, o podría decirles fichas, pero   claramente tiene el mismo volumen combinado, puedo  desplazarlas un poco pero tiene el mismo volumen.   Y esto nos lleva a una conclusión interesante,  y en realidad es un principio conocido como el   Principio de Cavalieri que dice que: si tengo dos  figuras que tienen la misma altura y en cualquier   punto a lo largo de esa altura el área de la  sección transversal es la misma, entonces las   dos figuras tienen el mismo volumen. Ahora, ¿cómo  se aplica lo que acabo de decir a lo que está   sucediendo aquí? Bueno, claramente ambas figuras  tienen la misma altura y luego en cualquier punto   en donde haya hecho los cortes y en el mismo punto  en este cilindro original el área de la sección   transversal será la misma, porque tiene la misma  área que la base, en el caso de este cilindro,   y así cumple con el Principio de Cavalieri. Pero  el Principio de Cavalieri no es nada exótico,   viene directamente del sentido común. Puedo seguir  haciendo más cortes -como este-, y puedes ver   que tengo un cilindro inclinado de aspecto más  suave, pero tendrá el mismo volumen que nuestro   cilindro original; cuando lo muevo así, no está  cambiando el volumen. Y eso no es sólo cierto para   los cilindros, podría ser exactamente el mismo  argumento con alguna forma de prisma. Una vez más,   ambas figuras tienen el mismo volumen; podría  cortar por la mitad la figura izquierda y moverla   y eso no cambia su volumen, podría cortarlo aún  más y sigue sin cambiar su volumen. Entonces el   Principio de Cavalieri parece tener mucho sentido  intuitivo aquí. Si tengo dos figuras que tienen la   misma altura y en cualquier punto a lo largo de  esa altura el área de la sección transversal es   la misma en ambas, entonces las figuras tienen  el mismo volumen, así que estas figuras también   tienen el mismo volumen. Y podría hacerlo con  otras figuras interesantes como, por ejemplo,   una pirámide. Estas dos pirámides tienen el mismo  volumen, y si corto la pirámide izquierda a la   mitad de su altura y desplazo la parte inferior de  esta manera, no va a cambiar su volumen, y puedo   seguir haciendo esto con más y más recortes  porque estas figuras tienen la misma altura   y en cualquier punto de esa altura el área de la  sección transversal es la misma en ambas, por lo   que las dos figuras tienen el mismo volumen. Pero  una vez más esto es intuitivo, y podemos hacerlo   hasta tener una pirámide continua aquí que se ha  inclinado, entonces no importa cuánto la inclines,   ésta tendrá el mismo volumen que nuestra pirámide  original porque tiene la misma altura y el área   de la sección transversal en cualquier punto  de esa altura será la misma. Realmente podemos   hacer esto con cualquier figura. Ahora tenemos  estas esferas que tienen el mismo volumen,   podría cortar la esfera izquierda por la mitad,  a la mitad de su altura, y desplazarla así;   claramente no estoy cambiando el volumen,  y podría hacer más cortes así, y obviamente   todavía tiene el mismo volumen. Esto cumple con  el Principio de Cavalieri porque tiene la misma   altura y la sección transversal en cualquier  punto a lo largo de esa altura será la misma,   entonces, aunque puedo cortarla y puedo deformarla  de manera que parezca un tipo diferente de objeto,   una figura distinta, tiene la misma altura y  las secciones transversales en cualquier punto   tienen la misma área, entonces tendrán el mismo  volumen. Esto es útil conocerlo, no sólo para   aprender el Principio sino para que, con la ayuda  de este video, veas que es bastante intuitivo.