Intuición para el volumen de pirámides

En este video hablaremos sobre el volumen de una  pirámide, y muchos de ustedes ya pueden estar   familiarizados con la fórmula del volumen de una  pirámide, pero el objetivo de este video es ver   algunos argumentos para comprender por qué es esa  la fórmula del volumen de una pirámide. Así que   empecemos por dibujar una pirámide, dibujaremos  una con una base rectangular, pero depende de cómo   veamos la fórmula es que tendremos una versión  más general. Una pirámide se ve más o menos así,   y podemos tener una idea de cuál podría ser  la fórmula para el volumen de una pirámide:   si decimos esta dimensión de aquí es x, esta otra  dimensión o longitud es y, y después tenemos la   altura de esta pirámide que va en línea recta  desde el centro de la base hasta el punto más   alto, o se puede medir esta distancia desde aquí,  esta es la altura de la pirámide, le llamaremos z.   Entonces, podrás decir: "Bien, estoy trabajando  con tres dimensiones, así que tal vez debería de   multiplicar estas tres dimensiones y eso me  dará el volumen pensando en términos de las   unidades". Pero si sólo multiplicáramos x • y •  z, nos daría el volumen del prisma rectangular   completo que contiene a la pirámide, esto nos daría  el volumen de todo esto que es claramente mayor,   tiene un volumen mayor que el de la pirámide  porque podemos ver que la pirámide está adentro,   la pirámide está completamente contenida en él:  aquí tendríamos la punta de la pirámide -tocando   esta cara, justo así-, y entonces puedes tener la  idea de que tal vez el volumen de la pirámide sea   x • y • z por una cierta constante. Y lo que vamos  a hacer en este video es argumentar cuál debe ser   esa constante, suponiendo que el volumen de la  pirámide tiene aproximadamente esta estructura.   Para ayudarnos con esta idea, dibujemos un prisma  rectangular más grande, y vamos a dividirlo en   seis pirámides que compongan completamente  el volumen del prisma rectangular. Primero   pensemos en una pirámide que se va a ver de esta  forma, donde su ancho sea x, su largo sea y,   estas son las medidas de la base, y su altura  será la mitad de la altura del prisma rectangular,   es decir, si el prisma tiene una altura de z, la  pirámide tendrá una altura de z / 2. Ahora bien,   ¿cuál es el volumen de la pirámide con base en lo  que vemos aquí? Bueno, el valor del volumen de la   pirámide será igual a una cierta constante k • x  • y, y esta vez no será por zeta, cuidado; tenemos   que multiplicar por la altura de la pirámide, es  decir, por z entre 2, así que vamos a escribirlo:   por z / 2, y podemos escribirlo de esta forma o  también podemos escribirlo de esta otra forma:   xyz / 2. Ahora, podemos construir otra pirámide  que tiene exactamente las mismas dimensiones. Si   ponemos al revés esta pirámide inicial, sólo que  de cabeza, entonces se va a ver más o menos así;   esta pirámide también tendrá como dimensiones un  ancho de x, un largo de y y una altura de z / 2,   así que su volumen también será este. Ahora, ¿cuál  es la suma del volumen de estas dos pirámides   combinadas? Bueno, será esta expresión por 2.  Entonces la suma de los volúmenes combinados   de estas dos pirámides -vamos a dibujarlo para  tenerlo más claro: tenemos dos pirámides que   se ven, así voy a intentar codificarlas por  colores-, tenemos dos pirámides como esta y   entonces su volumen combinado será dos veces esto,  que será simplemente k • x • y • z, kxyz.   Ahora tenemos que trabajar con más pirámides.  Por ejemplo, tenemos esta otra pirámide por aquí,   donde esta cara es su base y se ve justo así,  aquí la tenemos. Ahora, ¿cuál será su volumen?   Su volumen será k por el área de su base, que es  y • z, kyz. Y, ahora, ¿cuál es su altura? Bueno,   su altura es la mitad de x, entonces esta altura  es x / 2, por lo tanto el volumen es k • y •  z • x / 2, o podemos decir todo esto por  x y todo dividido entre 2. Ahora, por acá tenemos   otra pirámide que tiene exactamente las mismas  dimensiones. Esta de acá, si intentamos dibujarla   en la otra cara opuesta a la que acabamos de  ver, básicamente es la misma sólo que la giramos,   tiene exactamente las mismas dimensiones. Así que  una forma de pensarlo es que tenemos dos pirámides   que se ven de esta forma con estas dimensiones.  Y todo esto para un prisma rectangular arbitrario   con el que estamos trabajando. Entonces tenemos  dos de estas pirámides y, por lo tanto, si sumamos   sus dos volúmenes ¿qué obtendremos? Bueno,  será dos veces esta expresión, es decir, será   k • xyz. Interesante. Y por último, pero no por  eso menos importante, tenemos dos pirámides más.   Tenemos esta que tiene esta cara como base, esta  es su base, y si fuera transparente podríamos ser   capaces de ver lo que estamos dibujando. Además,  tenemos otra pirámide en el lado opuesto justo   aquí, en el otro lado, como si giráramos esta  pirámide y, por lo tanto, por el mismo argumento,   si las dibujamos por aquí tenemos dos pirámides de  este tipo -estoy haciendo mi mejor esfuerzo para   dibujarla-, y esto será por 2. Entonces, ¿cuál es  el volumen de cada una de estas pirámides? Cada   una tiene una base de x por z, entonces su volumen  será k • x • z, esta es el área de la base.   Y ahora, ¿cuál es su altura? Bueno, cada una de  ellas tiene una altura de y / 2, entonces esto nos   quedará por y / 2, pero como tengo dos pirámides  vamos a multiplicar esto por 2 y nos quedaremos   con kxyz. Ahora, una de las cosas interesantes  que acabamos de encontrar en todo esto es que a   pesar de que estas pirámides tienen diferentes  dimensiones y se ven distintas, todas tienen el   mismo volumen, lo cual es interesante por sí  mismo. Y ahora, si tuviéramos que sumar todos   los volúmenes de todas estas pirámides, y usamos  esta fórmula para expresarlo, entonces, la suma de   todas debe de ser igual al volumen del prisma  rectangular completo. Y tal vez con esta idea   podemos obtener el valor de k, ya que el volumen  del prisma rectangular completo es xyz, x • y   • z; y eso nos dará la suma de éstos, es decir,  esto será igual a la suma de kxyz + kxyz + kxyz,   o podemos decir que es 3 veces kxyz, lo único  que hicimos fue sumar el volumen de todas estas   pirámides. Entonces, ¿qué valor podemos obtener  para acá? Bueno, podemos dividir ambos lados por 3   veces xyz para despejar acá, entonces dividiremos  entre 3 xyz de ambos lados: en el lado derecho   todo se cancela y nos quedaremos con k, mientras  que en el lado izquierdo nos quedaremos con ⅓,   entonces obtenemos que k = ⅓, k es  igual a un tercio. Y ya lo tenemos,   este es el argumento de por qué el volumen de una  pirámide es ⅓ por las dimensiones de la base por   la altura. Así que puedes verlo de esta forma  o puedes verlo como ⅓ por el área de la base,   x • y es el área de la base, entonces ⅓ por la  base por la altura, que en este caso es z, pero   podemos escribir h para la altura, así es como  también se escribe el volumen de una pirámide,   pero son equivalentes. Y esta es la razón  por la que debemos sentirnos bien con este ⅓.