Intuición para el volumen de conos

Tenemos dos figuras tridimensionales diferentes  aquí: a la izquierda tenemos una pirámide,   mientras que a la derecha tenemos un cono. Y  ya sabemos algunas cosas al respecto de estas   dos figuras. Primero, podemos observar que ambas  tienen exactamente la misma altura, esta longitud   que tenemos por acá es h y esta otra longitud  que va desde el pico hasta el centro de la base   también es h. Además sabemos que el área de las  bases es la misma, por ejemplo, el área de la   base de esta pirámide de la izquierda es x • x, si  suponemos que es un cuadrado, x • x, entonces el   A = x², el área de esta base es x²; y el área de  esta otra base de aquí será igual a πr². Además,   estamos diciendo que estas dos áreas son iguales,  es decir, también sabemos que x² = πr². Ahora   bien, te tengo una pregunta: ¿estas dos figuras  tendrán el mismo volumen o será distinto?, y en   dado caso de tener volúmenes distintos ¿qué figura  tiene un volumen mayor? Pausa el video y piénsalo. Muy bien, vamos a trabajar juntos. Dado que  estamos trabajando con dos figuras que tienen la   misma altura y la misma área de la base, podríamos  pensar que es útil el Principio de Cavalieri. Si   recordamos que el Principio de Cavalieri dice que  si tenemos dos figuras -en esta ocasión estamos   trabajando con figuras en tres dimensiones, es  decir, estamos pensando en una versión de tres   dimensiones del Principio de Cavalieri-, nos dice  que, si tenemos dos figuras con la misma altura y   en cualquier punto a lo largo de su altura el área  de la sección transversal es la misma, entonces   las figuras tienen el mismo volumen. Entonces, lo  que necesitamos hacer es descifrar si realmente   en cualquier punto de sus alturas ambas figuras  tienen la misma área de la sección transversal.   Bueno, para pensar en esto tomemos un punto  arbitrario a lo largo de sus alturas, y sólo por   simplicidad tomemos la mitad de la altura, aunque  podríamos hacer este análisis en cualquier punto a   lo largo de sus alturas. Aquí estamos a la mitad  de esta altura y por acá estamos a la mitad de   esta otra altura, por lo tanto, esta distancia que  tenemos aquí mide h / 2 y esta otra distancia que   tenemos aquí mide h / 2, ya que la altura completa  mide h. Y lo que podemos hacer es construir lo que   parecen ser dos triángulos semejantes; de hecho,  vamos a demostrar que, en efecto, son triángulos   semejantes. Vamos a construirlos por aquí, y  sabemos que son semejantes porque esta recta será   paralela a esta otra recta, y esta otra recta es  paralela a esta otra recta, es decir, al radio. ¿Y   cómo lo sabemos? Porque las áreas de las secciones  transversales que estamos tomando son paralelas   a la base, son paralelas a la superficie. En  ambos casos, estas secciones transversales van   a ser paralelas y, por lo tanto, estas líneas que  están sobre estas secciones transversales, están   sobre la base y sobre esta sección transversal  también deben ser paralelas. Y dado que estas son   rectas paralelas, entonces este ángulo debe de ser  congruente a este ángulo, este otro ángulo debe de   ser congruente a este otro ángulo, ya que estas  son transversales a través de rectas paralelas,   y estos sólo son ángulos correspondientes, y  por supuesto comparten este ángulo en común.   Por acá podemos ver claramente que tenemos un  ángulo recto, por acá tenemos otro ángulo recto,   este ángulo es congruente a este otro ángulo  y ambos triángulos comparten este ángulo. Por   lo tanto, en ambos casos, este triángulo pequeño  es semejante al triángulo más grande. Y esto nos   ayuda a darnos cuenta que la razón entre los  lados correspondientes es la misma. Entonces,   si la altura completa es h y esta otra altura es h  / 2, es decir, es la mitad de la altura completa,   esto nos dice que este lado tiene que ser la  mitad del radio, así que este lado mide r / 2;   por el mismo argumento, este lado de aquí mide  x / 2. Por lo tanto, ¿cuánto mide el área de   la sección transversal por aquí? Bueno, será  (x / 2)², x entre 2 esto elevado al cuadrado,   que es lo mismo que x² / 4 que es 1/4 del área  de la base, mide 1/4 del área de la base. ¿Y   qué hay de esta área de esta sección transversal?  Bueno, esta área de la sección transversal será   igual a π (r/2)², que es lo mismo que πr² / 4,  o podemos decir que esto es igual a 1/4 πr²,   que podemos observar de nuevo que es 1/4 del  área de la base. Si el área de la base es πr²,   entonces 1/4 πr² es 1/4 del área de la base, y,  como mencionamos, el área de la base de estas dos   figuras es la misma. Entonces, acabamos de ver  que las áreas de la sección transversal en este   punto de la altura es igual en ambas figuras; y  podríamos hacer lo mismo para un punto que esté   a 1/4 a lo largo de la altura o a 3/4 a lo largo  de la altura, obtendríamos exactamente el mismo   análisis: tendríamos dos triángulos semejantes  y podríamos ver que tenemos las mismas áreas de   secciones transversales en ese punto de la  altura. Y, por esta razón, por el Principio   de Cavalieri en tres dimensiones, podemos ver  que estas dos figuras tienen el mismo volumen.   Lo que es interesante de esta idea es que  nos permite tomar la fórmula para el volumen   de una pirámide, que ya hemos demostrado e  intuido en otros videos, que nos dice que:   el volumen de una pirámide es igual a 1/3 b • h,  y ver que, en efecto, este cono tiene exactamente   el mismo volumen, este volumen también es igual  a 1/3 b • h, ya que en ambos casos el área de la   base es la misma y la altura también es la misma.  Entonces, sabemos que tienen el mismo volumen.