Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

hola pues en este vídeo quiero seguir haciendo ejemplos de funciones trigonométricas así que como antes voy a dibujar mi triángulo rectángulo y les recuerdo la definición que dado de funciones trigonométricas hasta ahora sólo funciona con triángulos rectángulos así que no la vayan a tratar de utilizar para calcular otras cosas pero bueno vamos a suponer que este lado de aquí vale 4 y voy a imaginar que este lado de acá vale 7 ya sé que parece que miden lo mismo pero tendremos que usar nuestra imaginación así que cuánto vale la hipotenusa que les recuerdo es el lado que está opuesto al ángulo recto así que estoy aquí es la hipotenusa y pues nosotros sabemos del teorema de pitágoras de nuestras clases de geometría o de vídeos pasados que la hipotenusa al cuadrado la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados que les recuerdo se llaman catetos así que bien esto sería igual 7 al cuadrado 7 al cuadrado más 4 al cuadrado de modo que h al cuadrado sería igual a 7 al cuadrado es 49 más 4 al cuadrado 16 49 y 16 es 65 de modo que al cuadrado es igual a 65 y si saco raíz cuadrada de ambos lados no tengo que h es igual a la raíz cuadrada de 65 noten que ya no puede reducir más este número puesto que 65 es 13 por 5 y ese número es libre cuadrados así que h va a ser igual a la raíz cuadrada de 65 muy bien ahora qué pasa si me pregunto por las funciones trigonométricas de este ángulo de aquí vamos a llamar este ángulo theta entonces pues lo primero que voy a hacer es escribir mi mnemotecnia de show acá es esta demo técnica es súper súper útil para poder calcular las funciones trigonométricas de triángulos rectángulos es decir de ángulos que puedo meter en triángulos rectángulos de modo que bien por ejemplo qué pasa si me preguntó por el coseno y coseno del ángulo teta pues entonces tengo que irme a la parte correspondiente de shock a toa en particular tengo que irme acá porque acá me dice que el coseno el coche no es igual a ade adyacente / h de hipotenusa así que cose no es igual adyacente / hipotenusa y recuerden que significará eso la hipotenusa es esto de aquí esto no cambia adyacente es el lado adyacente o el cateto adyacente al ángulo que simplemente es el otro lado del triángulo que digamos forma el borde del ángulo en este caso sería este lado de aquí que vale 4 este sería el lado adyacente adyacente recuerden si cambio el ángulo si ahora me fijaré en este ángulo el lado adyacente sería ahora 7 pero como estoy concentrado en theta este lado que vale 4 es el adyacente así que el coste no de teta vale la magnitud del lado adyacente que es 4 dividido entre la magnitud de la hipotenusa que es raíz de 65 país de 65 ahora bien a muchas personas no les gusta tener números irracionales en el denominador por lo que podría racionalizar esta fracción simplemente multiplicando por raíz de 65 / raíz de 65 noten que este número entre este número como son iguales es simplemente 1 por lo tanto estoy multiplicando por 1 y este número no va a cambiar para nada pero cuánto es eso pues eso me daría 4 x raíz de 65 4 x raíz de 65 / / raíz de 75 x raíz de 65 es simplemente 65 así que ese sería el valor del coste no detecta que hay de el seno de teta el seno de eta cuanto a patri eso pues ahora la que me sirve eso eso me dice que el seno es igual a o de opuesto / h de hipotenusa así que el seno es el lado opuesto entre la hipotenusa y cuál es el lado opuesto al ángulo theta pues basta ver aquí el ángulo theta abre hacia este lado así este lado que vale 7 que mide 7 unidades déjenme lo escribo este sería el opuesto el lado opuesto o cateto opuesto así que seno de teta es igual a la magnitud del cateto puesto que es 7 dividido entre la hipotenusa la magnitud de la hipotenusa que es raíz de 65 de nuevo puede racionalizar esta expresión multiplicando por raíz de 65 entre raíz de 65 y eso me daría 7 por la raíz cuadrada de 65 dividido entre 65 muy bien que hay finalmente de la tangente en gente de eta pues ahora todas me dice que tangente es igual a odio puesto entre adyacente pero cuál es el lado opuesto a el ángulo theta es este que tiene longitud 7 así que tangente teta sería 7 / el lado adyacente que es este que tiene longitud 4 así que la tangente de teta vale 7 entre 4 hagamos otro ejemplo bien me bajó un poco para tener más espacio y voy a dibujar aquí mi triángulo está la hipotenusa un cateto y el otro cateto soy muy malo dibujando triángulos ustedes disculpen pero bueno vamos a suponer que la hipotenusa vale 4 que la longitud de este cateto es 2 y que la longitud de este otro cateto de este otro lado es 2 x raíz de 3 y de hecho podemos verificar que esto funciona porque debe obedecer el teorema de pitágoras y cuánto es 2 por raíz de 3 al cuadrado más 2 al cuadrado pues esto sería lo mismo que 4 x 3 + 2 al cuadrado que sería 4 4 por 13 12 + 4 es 16 y 16 en efecto es 4 al cuadrado que es la longitud de la hipotenusa al cuadrado y bueno quizás reconozcan este triángulo de los cursos de geometría o de algún otro vídeo como un triángulo 30-60 es decir este ángulo de aquí es de 30 grados y este ángulo de acá es de 60 grados la razón por la que se eso es porque este cateto es la mitad de la hipotenusa mide la mitad que la hipotenusa y porque este otro cateto es raíz de 3 por la longitud de este otro cateto así que bueno espero que reconozcan este triángulo no quiero hacer ahorita un repaso de todas las propiedades que tiene pero lo que sí quiero hacer es calcular sus funciones trigonométricas y recuerden déjenme lo vuelve escribir acá y acá recuerden este triángulo rectángulo así que nos puede servir esto yang y comencemos cuánto vale el por ejemplo el cose no el coseno de 30 grados pues el coseno de 30 grados que me dice que es co se no es igual adyacente entre hipotenusa cuál es el lado adyacente al ángulo de 30 grados pues fíjense que es este lado de aquí es precisamente este lado el que forma el borde del ángulo junto con la hipotenusa así que el coseno de 30 grados valdría 2 x raíz de 3 entre 4 o si simplificó esto simplemente sería raíz de 3 entre dos bien que pasa ahora si me pregunto por digamos el seno el seno de 30 grados ahora que me dices toca todas pues la que me importa eso y me dice que el seno es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa cuál es el cateto opuesto al ángulo de 30 grados pues el ángulo de 30 grados abre hacia este 2 de aquí hacia de este lado que vale 2 así que este sería mi lado opuesto el seno valdría a 2 entre la longitud de la hipotenusa que es 4 por lo que el seno de 30 grados es igual a un medio y recuerden esto es una función del ángulo así que mientras el triángulo contenga ese ángulo y sea rectángulo claro puedo utilizar estas definiciones aunque el triángulo sea más chico por lo tanto si en algún momento se topan con el seno o el coseno de 30 o 60 grados pueden utilizar este triángulo porque satisface todas las condiciones pero bueno no nos distraigamos cuánto vale la tangente ahora la tangente de 30 grados toca todas todas me dice que la tangente es igual a el cateto puesto entre el cateto adyacente cuál es el cateto opuesto acabamos de ver que es 2 o más bien mide 2 entre la longitud del cateto adyacente que es este de aquí y vale 2 x raíz de 32 por raíz de 3 de nuevo podría si quisiera racionalizar este denominador bueno esto para empezar es uno entre raíz de 3 puedo multiplicar por raíz de 3 / raíz de 3 para racionalizar y esto me da raíz de 3 entre 3 y bueno ya que tenemos este triángulo aquí vamos a aprovechar para calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 60 grados comencemos de nuevo con el coche no coseno de 60 grados espero que ustedes ya lo puedan calcular muy rápido cuánto vale el coseno de 60 grados pues ahora el cateto adyacente al ángulo de 60 grados es ahora este cateto de aquí este cateto de aquí que vale o tiene longitud 2 así que el coche no es 60 grados sería 2 entre la hipotenusa que es coseno igual adyacente entre hipotenusa la hipotenusa vale 4 así que esto va a valer 1 entre 2 bien continuemos cuánto valdrá el seno de 60 grados pues el seno de 60 grados es por sol es el cateto opuesto entre la hipotenusa ahora para el ángulo de 60 grados este ángulo abre hacia este lado de modo que el cateto opuesto al ángulo de 60 grados es este que mide 2 x raíz de 3 y ya 2 por raíz de 3 entre la longitud de la hipotenusa que de nuevo es 4 por lo que el seno de 60 grados es igual a raíz de 3 entre 2 y finalmente cuánto vale la tangente la tangente de 60 grados pues ahora tengo tangente igual a opuesto entre adyacente lo que sería la longitud del cateto opuesto es 2 por raíz de 3 entre la longitud del cateto adyacente que es 22 12 se cancelan y simplemente me queda raíz de 3 ahora bien no teme que el coseno de 30 grados fue igual al seno de 60 grados y que el coseno de 60 grados es igual al seno de 30 grados y que la tangente de 30 grados es igual a 1 entre la tangente de 60 grados así que bueno posteriormente exploraremos estas relaciones y extenderemos las funciones trigonométricas o más bien la definición de las funciones trigonométricas para calcular ángulos que no estén entre 0 y 90 grados