Distribución de probabilidad binomial en tiros libres

ya que en los últimos vídeos hemos estado analizando este escenario en el que hacemos un tiro libre y tal vez anotamos una canasta o no pero la probabilidad de anotar la canasta es de 70% y luego en otro vídeo calculemos cuál es la probabilidad de hacer acá anotaciones en n intentos en n tiros libres o bueno también puede ser en seis tiros libres estaría muy bien definir una variable aleatoria utilizando este escenario y es justo lo que vamos a hacer y vamos a calcular su función de masa de probabilidad que por cierto adelantándome un poco te digo que va a ser una variable aleatoria binomial así es que definamos la variable aleatoria x como el número de anotaciones en seis tiros libres número de anotaciones o canastas hasta en seis tiros libres en seis tiros libres tiros libres ok x lo que hace es contar de los seis tiros libres cuántos fueron canastas y vamos a suponer lo mismo que en el primer vídeo de esta serie de vídeos vamos a suponer que la probabilidad de anotar un tiro libre es de 70% aunque y así es que estamos suponiendo suponiendo que tenemos una probabilidad de anotar un tiro libre de 70% y vamos a calcular cuál es la probabilidad de que x tome cada uno de los valores que puede llegar a tomar así es que vamos a empezar por calcular cuál es la probabilidad de que x sea igual a 0 porque aunque tengas un 70% de probabilidad de anotar cada uno de los seis tiros cuál es la probabilidad de que no anotes ni un solo tiro y esto es algo que seguramente lo puedes calcular muy fácilmente utilizando simplemente el sentido común y esta probabilidad pero para ser consistentes con el resto de las probabilidades que vamos a calcular ahorita vamos a utilizar la fórmula que desarrollamos en el vídeo pasado así es que la probabilidad de que x sea igual a cero las combinaciones de stage en 0 las combinaciones de 60 x 0.7 a la 0 x 0.3 a las 6 y bueno me tomé la libertad de calcular esto y si lo redondeamos a la milésima más cercana y redondeamos al tercer decimal esto es aproximadamente 0.001 así es que tenemos aproximadamente una probabilidad de 0.1 por ciento de fallar todos los tiros libres ahora cuál es la probabilidad de que x sea igual a 1 pues estos son las combinaciones de 6 en 1 x 0.7 elevado a la 1 x 0.3 elevado a las 5 y eso es aproximadamente 0.01 qué 1 % es 10 veces más probable que notes una de las 6 canastas a que no anotes ni una sola canasta pero bueno si seguimos queremos calcular la probabilidad de que x sea igual a 2 o sea que no tenemos dos de los seis tiros libres y eso otra vez son las combinaciones de seis en dos por 0.7 elevado a las 2 por 0.3 elevado a la 6 menos 24 y esto es justo lo que calculamos en el primer vídeo de esta serie cierto cuál es la probabilidad de que no tenemos dos canastas en 6 tiros libres y como vimos en este vídeo esto es aproximadamente 0.6 6 % y aquí estoy redondeando estas cantidades definitivamente puede sacar una calculadora para calcular estas cantidades y vas a obtener una respuesta mucho más precisa pero para visualizar esta función de masa de probabilidad de esta variable aleatoria tener una buena idea de cómo se distribuye la probabilidad entre los posibles resultados de esta variable aleatoria estas probabilidades redondeadas son suficientes y más fáciles de manejar así es que continuamos sacando probabilidades ahora vamos a ver cuál es la probabilidad de que x sea igual a 3 y eso por supuesto son las combinaciones de 6 en 3 x 0.7 a la 3 x 0.3 a la 6 menos 3 que es otra vez 3 lo cual es aproximadamente 0 punto 185 y recuerda que estamos aproximando a la milésima más cercana y esto es también aproximadamente 18.5 por ciento y 18.5 por ciento ya no es una probabilidad tan baja como éstas o sea ahora si ya sería creíble que notaremos exactamente tres de los seis tiros libres o sea todas estas situaciones definitivamente pueden pasar están dentro de lo posible pero x igual a 3 ya tiene una probabilidad no tan insignificante ya no es tan difícil que suceda como en estos casos ahora vamos con la probabilidad de que x sea igual a 4 y esto es por supuesto las combinaciones de 6 en 4 x 0.7 elevado a la 4 x 0.3 elevado a la 6 menos 4 elevado a las 2 que es aproximadamente y aquí le estoy quitando bastante precisión al redondear a la milésima más cercana pero es aproximadamente cero punto 324 lo cual es 32.4 por ciento tenemos 32.4 por ciento de probabilidad de hacer cuatro canastas en seis tiros libres y ya nada más nos falta calcular dos probabilidades que nos falta calcular la probabilidad de que x sea igual a 5 las combinaciones de 6 en 5 x 0.7 a la quinta potencia por 0.3 a la 6 menos 5 o sea 1 que es aproximadamente 0.3 03 lo cual es 30.3 por ciento eso es interesante no bueno y finalmente cuál es la probabilidad de que x sea igual a 6 o sea que no tenemos todos los tiros libres esto es igual a las combinaciones de seis en seis por 0.7 a las seis por 0.3 a la cero y bueno 0.3 a la cero es un 1 las combinaciones de 6 en 6 es también uno así es que esta probabilidad es simplemente 0.7 a las 6 es aproximadamente redondeado a la milésima más cercana 0.118 osea 11.8 por ciento y aquí hay algo bastante interesante seguramente recuerdas que cuando vimos la distribución binomial era muy simétrica o sea primero subimos y subimos y subimos y a la mitad llegamos al punto más alto pero empezábamos a bajar y era más o menos como si pusiéramos un espejo aquí a la mitad y teníamos que esta probabilidad era igual a esta de aquí y ésta era igual a esta y así nos seguíamos y si nos fijamos en estas probabilidades que acabamos de calcular no tienen esa misma simetría y bueno eso sucede porque ahora tenemos una probabilidad bastante alta de anotar antes cuando estábamos tirando una moneda justa teníamos 50 por ciento de probabilidad de sacar sol y 50% de sacar águila sin embargo aquí tenemos un 70 por ciento de probabilidad y eso provoca que sea más probable que tengamos una mayor cantidad de anotaciones sin embargo si nos ponemos a calcular estos coeficientes binomial es las combinaciones de seis en cada vamos a ver que estos números de aquí sí preservan esa simetría y que lo que hace que las probabilidades ya no tengan esa forma simétrica son estos valores de aquí porque las combinaciones de seis en cero son 1 al igual que las combinaciones de seis en seis las combinaciones de seis en uno son seis y las combinaciones de seis en cinco son seis las combinaciones de seis en dos son 15 y las combinaciones de 6 en 4 también son 15 y finalmente las combinaciones de 6 en 3 son 20 porque entonces como puedes ver en estos coeficientes si se preserva la simetría sin embargo estas probabilidades tienen estos pesos 0.7 y 0.3 hacen que se pierda la simetría y tiene mucho sentido porque si es muy probable anotar un tiro libre entonces es bastante más probable anotar muchos de los seis tiros libres que vamos a tirar es mucho más probable que anotar poquitos tiros libres si en lugar de tener un 0.7 de probabilidad de anotar un tiro libre tuviéramos 0.5 entonces aquí veríamos la misma simetría que en los primeros vídeos de la distribución binomial pero bueno y otra cosa que estaría súper interesante hace sería graficar estas probabilidades y de hecho te recomiendo que lo hagas toma todos estos valores en el eje x y en el eje y pon las probabilidades correspondientes y así vas a tener la gráfica de la función de masa de probabilidad de la variable x aunque como lo hicimos al inicio de esta serie que teníamos una moneda justa y la variable x será la cantidad de soles que salían en 5 gol 2 bueno aquí tenemos esta otra variable aleatoria de x está por acá x es el número de canastas en 6 tiros libres y bueno aquí no la gráfica pero esta es la función de masa de probabilidad de esta variable aleatoria x gray estos son los valores que puede llegar a tomar x x no puede tomar el valor menos 115 ni 3.5 ni pi ni cualquier otro número que no sean estos 7 números de aquí y para cada uno de esos valores que puede llegar a tomar x tenemos aquí la probabilidad de que x sea igual a ese valor bueno redondeamos esas probabilidades pero esto es justo la función de masa de probabilidad de la variable x