Sistemas cuadráticos: una recta y una parábola

nos dicen la parábola dada por igual a 3x cuadrada menos 6x más 1 y la recta dada porque menos x más 1 igual a 0 es tan gráfica das y puedes ver sus gráficas la parábola está en rojo mientras que la recta en azul y lo primero que nos preguntan es uno de los puntos de intersección es claramente identificable a partir de la gráfica cuál es ese punto y nos piden que lo pongamos en este espacio de hecho esto es una captura de pantalla de un ejercicio de khan academy donde puedo escribir si lo está realizando en khan academy tendrás que introducir la respuesta pausa el vídeo e intenta ver si puedes encontrar la respuesta de la primera parte bien nos dicen que uno de los puntos de intersección es claramente identificable a partir de la gráfica y podemos observar dos puntos de intersección este y este de aquí el segundo es claramente identificable ya que de forma visible en la cuadrícula tenemos el punto de intersección en el valor de x igualados y de igual a uno nuestro punto de intersección es el punto 2,1 déjame escribirlo 2,1 y es interesante pensar que además de que los puntos de intersección están en las gráficas de ambas curvas significa que satisfacen ambas ecuaciones son la solución a ambas ecuaciones y después nos preguntan encuentra el otro punto de intersección tu respuesta debe de ser exacta es decir nos piden encontrar este otro punto de intersección para ello intentaremos resolver este sistema de ecuaciones y es interesante porque observa es un sistema de ecuaciones donde una de sus ecuaciones no es lineal es una ecuación cuadrática así que veamos cómo podemos resolver este sistema primero escribiré las ecuaciones tengo en rojo a ye igual a 3 x cuadrada menos 6 x + 1 y nuestra siguiente ecuación en azul es 100 x 1 igual a 0 una forma de trabajarlas y esta es una forma de trabajar cualquier sistema de ecuaciones es usando sustitución si puedo escribir esta segunda ecuación lineal en términos de james es decir resolver para james entonces podría sustituir ayer en mi primera ecuación en ecuación cuadrática y con esto resolver para x la forma más sencilla de resolver para ella de la segunda ecuación es sumar x de ambos lados y después restar uno de ambos lados con esto nos quedará que bien y el resto del lado izquierdo se cancela es igual a x menos 1 ahora podemos sustituir x 1 en lugar de que entonces me queda x 1 es igual a 3 x cuadrada menos 6 x + 1 después queremos un cero en uno de los lados de esta ecuación así que voy a restar x de ambos lados y sumar uno de ambos lados que obtenemos en el lado izquierdo obtenemos 0 y en el lado derecho me queda 3x cuadrada menos 7 x + 2 así que esto es igual a 0 ahora podemos intentar factorizar existe un factor que sea obvio es decir existen dos números que al multiplicarse resulten en el producto de 2 y 3 si esto no te parece familiar puedes revisar los videos de factorización por agrupación en khan academy por otra parte quiero que la suma de estos números se iguala menos 7 de hecho menos 6 y menos 1 funcionan por lo tanto lo que puedo hacer es reescribir todo esto como 0 es igual a 3x cuadrada y en lugar de menos 7 escribiremos menos 6x menos x y por último tengo mi más 2 lo único que estamos haciendo es una factorización por agrupación para aquellos que no se sientan familiarizados con esta técnica también podréis utilizar la fórmula cuadrática entonces tengo que hacer es igual am y si el grupo los dos primeros términos pueden factorizar de ellos un 3 x y me quedara que 3x multiplica a x menos 2 mientras que de los segundos dos términos puede factorizar menos 1 así me quedara que menos 1 multiplica a x menos 2 y ahora puedo factorizar a x2 si factor hizo a x2 nos quedara que 0 es igual a x menos dos por tres x menos uno por lo tanto la solución será la situación donde algunos de estos dos sea igual a cero ya sea que x menos 12 igual a 0 3 x menos uno sea igual a cero el valor donde x2 es igual a 0 es cuando x es igual a 2 si 3x menos uno es igual a cero podemos sumar uno de ambos lados y obtenemos que 3x es igual a 1 después si dividimos todo entre 3 obtengo que x es igual a un tercio muy bien ya habíamos visto la solución donde x es igual a 2 es este punto de aquí incluso lo escribimos es el punto 2 1 ahora encontramos el valor de x de la otra solución x vale un tercio el valor de x es de un tercio y necesitamos resolver para el valor de jeff ahora bien el valor de ye es el valor correspondiente que obtenemos al sustituir este valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones y quiero enfocarme en la ecuación más simple de las dos así que queremos saber cuánto más leyes cuando x es igual a un tercio en esta ecuación podríamos usar la de arriba pero esta es incluso más sencilla ya que queremos resolver para ella y aquí lo tenemos si sustituimos a x igual a un tercio obtenemos que que es igual a un tercio menos uno de lo que nos queda que es igual a menos dos tercios y parece que estamos en lo correcto que es igual a menos dos tercios así que este es el punto un tercio coma menos dos tercios y lo hemos logrado