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Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos: base 2

Transcripción del video

digamos que tenemos la siguiente función y es igual a 5 que multiplica a 2 elevado a la t ok y ahora alguien llega y te dice hey mira esta función está bastante interesante pero estoy de curioso y yo quiero el número y déjeme cambiar de color quiero el número 1111 1111 y tengo una curiosidad de para qué valor de t mi función lleva a tomar el valor de 1.111 así que creo que es el momento adecuado para que tú pausas el vídeo y lo intente resolver por ti mismo ahora bien si decide una pista vamos a tener que usar la calculadora así que por ahora pausa este vídeo e intenta hacerlo por ti mismo muy bien suponiendo que ya pausas del vídeo es hora de empezar a trabajar con este problema yo lo que quiero saber es para que te funcione igual a 5 x 2 elevado a la t es igual a 1.111 así que vamos a ponerlo yo lo que quiero es saber para qué t 55 que multiplica a 2 elevado a la t ok esto es igual que mil 111 así que déjeme parando por aquí yo lo que quiero saber es para que te esto es igual a mi 111 de lujo así que como cada vez que se hace algo de forma que frye que es un poco útil pues vamos a intentar despejar la variable para la cual estamos intentando resolver esta ecuación es decir lo que nosotros necesitamos encontrar es para que te para cuál valor de t esto es exactamente igual que esto así que en un primer paso lo que se me ocurre es que podemos quitar este 5 es decir vamos a quitar este de este lado de esta ecuación y para esto voy a dividir todo entre 5 voy a dividir esta parte entre 5 y pueden dividir también esta parte entre 5 de tal manera que este 5 que multiplica y este 5 que dividen se van y me va a quedar que 2 elevado a la t esto debe de ser igual a 1.111 entre 5 a 1.111 ok esto dividido entre 5 o ok pero recuerda que lo que queremos es despejar t despejarte de esta ecuación 2 elevadoras es igual a 1.111 entre 5 es decir lo que necesito es despejar a la t de esta función de exponencial y para eso vamos a aplicar la función inversa a la función exponencial y cuál es la función inversa de la función exponencial pues claro la función logaritmo es decir que cuando nosotros tenemos a elevado a la b esto es exactamente igual a c bueno pues esto implica que el logaritmo el logaritmo en base a en base a de c esto sea exactamente igual que b ha elevado la b igual a cero este enunciado es equivalente que el lugar y no en base a de c es igual a 20 o dicho otra manera a qué potencia tenemos que elevar a para que nos dé ser bueno pues la respuesta es bien ha elevado a la b es igual a cero entonces la potencia y la que tenemos que elevar a para que nos deseo es ver estos dos enunciados son enunciados equivalentes perfecto bien así que apliquemos el logaritmo en base 2 de ambos lados de esta ecuación y nos va a quedar que el logaritmo el logaritmo en base 2 de 2 elevada tema de 2 elevado la t esto es exactamente igual que el logaritmo que el logaritmo en base 2 de esto que tenemos aquí de 1.111 1111 ok esto dividido entre 5 ahora fíjate en el lado izquierdo de esta ecuación cuánto es el logaritmo en base 2 de 2 elevado la td2 elevado de ate o de otra manera lo que buscamos es a qué potencia tenemos que elevar 2 para que nos dé 2 elevadora tema y bueno ya me puedes decir que toda esta parte de aquí toda la parte izquierda se puede simplificar solamente al valor de t si tú te preguntas a qué potencia tengo que elevar 2 para que me dé 12 elevada temp bueno pues la potencia stem y bueno esto es exactamente igual que el logaritmo en base 2 de esta expresión que tengo aquí 111 todo esto dividido en tres y ok ahora esta es la expresión que nos va a dar el valor de t y seguramente la siguiente pregunta es cómo vamos a obtener este valor de t bien como no todas las calculadoras tienen el botón del logaritmo en base 2 vamos a buscar una forma alternativa para obtener este resultado así que vamos a aplicar una de las más poderosas propiedades de los exponentes si nosotros tenemos el logaritmo el logaritmo en base 2 y es más déjenme hacerlo para una base cualquiera nosotros nos tomamos el logaritmo en base a de c esto lo podemos reescribir de la siguiente manera como el logaritmo el logaritmo en una base cualquiera a máximo por de la base x para verlo de una forma general el logaritmo en base x dc que a su vez esto está dividido entre el lugar en base xd y este cualquiera debe de ser el mismo esta x debe de ser la misma y es que esto es bastante útil porque todas las calculadoras tienen el logaritmo que es el logaritmo en base 10 y el logaritmo natural que es el logaritmo en base así que utilicemos para esta expresión se me ocurre utilizar el logaritmo + 10 esto es exactamente lo mismo que tomarnos el logaritmo el logaritmo en base 10 de esta parte de aquí que es mil 111 mil 111 ok esto dividido entre 5 ya esto lo tenemos que dividir entre el logaritmo esto dividido entre el logaritmo el logaritmo el logaritmo en base 10 de la base anterior es decir el logaritmo más de diez dedos y esto a cuánto es igual y es momento de sacar la calculadora así que la voy a traer por acá y bueno yo lo que quiero hacer es esta expresión que tengo aquí ahora tú puedes utilizar también el logaritmo natural en lugar del lugar en base 10 si tú lo deseas pero bueno yo lo que quiero es esta expresión que tengo aquí así que vamos a ponerla con mucho cuidado el logaritmo en base 10 de 1.111 ok esto / / entre 5 ok y esto a su vez estamos en esta parte de aquí arriba lo voy a dividir entre el logaritmo en base 10 o el log de 2 ok y ahora cierro paréntesis cerramos otro paréntesis y es el momento adecuado para ver cuánto es este resultado esto es lo mismo que ok 7.79 y bueno para no poner todos estos decimales aproximadamente vamos a decir que es 7 puntos 7 9 entonces esto es aproximadamente aproximadamente aproximadamente 7.796 aproximadamente 7.796 así que cuando te es aproximadamente 7.796 entonces toma el valor de 1.111